【数学思想】第4讲：数形结合思想在导数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第4讲 数形结合思想在函数（导数部分）中的应用 数学结合是数学解题中常用的思想方法。运用数学结合的方法，许多问题迎刃而解，且解法简洁。所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问。问题的一种重要思想方法，数形结合思想，通过以形助数，以数解形，使困难问题简洁化、抽象问题详细化。能够变抽象思维为形象思维，有助于数学问题的本质，它是数学的规律性和敏捷性的有机结合。 我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。 【应用一】利用数形结合，解决函数不等关系的问题 在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，这种情况下我们一般借助于函数的图像，若函数的解析式不是基本函数可以运用求导的方法，做出函数的图像。 【例1.1】（2023·广东佛山·统考一模）（多选题）若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【思维提升】借助于函数的图像比较大小，最主要的是做出函数的图像，有些情况下要对函数进行适当的变形，变成常见的函数，或者比较容易进行求导做出函数的图像。然后借助于函数的图像进行比较大小或者不等关系。 【变式1.1】（2022•江苏二模）已知实数，，且，为自然对数的底数，则　　 A． B． C． D． 【变式1.2】【2021年新高考1卷】若过点可以作曲线的两条切线，则（       ） A． B． C． D． 【应用二】利用数形结合，研究函数的零点问题 函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化趋势等求解；根据题目要求画出函数图象，通过数形结合思想分析问题。 【例2】（（2022·湖北·模拟预测）已知函数，若函数有5个零点，则实数k的取值范围为______． 【思维提升】函数的零点问题，就是指两个函数的交点问题，在解决这类问题要构造恰当的函数，以便更好的做出函数的图像，能从图像中更直接的解决问题。 【变式2.1】（2022·河北衡水中学一模）已知函数，，当实数的取值范围为________时，的零点最多. 【变式2.2】（2022•玄武区模拟）已知函数为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是　　 A． B． C． D． 【变式2.3】（2022年徐州市高三月考试卷） 设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【应用三】利用数形结合，研究函数的极值点问题 函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决。 【例3】（【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【思维提升】本题由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 因此，对于函数的极值问题借助于构造两个函数研究交点问题。 【变式3.1】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数只有一个极值点，则的取值范围是___________. 【变式3.2】已知函数有且只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3.3】（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷） （多选题）若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. D. 巩固练习 1、（2022•苏州模拟）已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ） A．3 B．4 C．9 D．16 3、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（ ） A. 必有两个极值点 B. 有且仅有3个零点时，的范围是 C. 当时，点是曲线的对称中心 D. 当时，过点可以作曲线的3条切线 4、（2022年福州八中高三月考模拟试卷）（多选题） 已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（ ）