专题3-8 向量三大定理及四心难题14题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2024年高考数学一轮复习热点题型归纳培优讲义（新高考通用）

专题 3.8向量三大定理及四心难题归类 · 一、知识梳理与二级结论 · 二、热考题型归纳 · 【题型一】 等和线：和系数为1型 · 【题型二】 等和线：和系数不全为1型 · 【题型三】 等和线：分数型 · 【题型四】 等和线：系数差型 · 【题型五】 等和线：系数积型 · 【题型六】 等和线：系数比值型 · 【题型七】 等和线：系数二次型 · 【题型八】 轨迹型 · 【题型九】 奔驰定理 · 【题型十】 四心：外心 · 【题型十一】四心：内心 · 【题型十二】四心：垂心 · 【题型十三】四心：重心 · 【题型十四】极化恒等式 · 三、高考真题对点练 · 四、最新模考题组练 知识梳理与二级结论 一、平面向量共线定理 已知，若，则三点共线；反之亦然。 二、等和线 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 （1）、当等和线过点时，； （2）、当等和线恰为直线时，； （3）、当直线在点和等和线之间时，； （4）、当等和线在点和直线之间时，； 特殊的：若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； 三、基底与斜坐标系 在平面向量的线性运算中，如图，的范围可仿照直角坐标系得出，，类比于轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有，第Ⅱ象限有，第Ⅲ象限有，第Ⅳ象限有，也可类比得出其中的直线方程，二元一次不等式组表示的平面区域等等. 四、奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 四、奔驰定理与三角形四心 定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 五、极化恒等式 极化恒等式：. 说明： （1）极化恒等式的几何意义是：设点是△ABC边的中点，则，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差． （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合. （3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 热点考题归纳 【题型一】等和线：和系数为1型 ： 【典例分析】 1.在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2.长度都为的向量，的夹角为，点在以为圆心的圆弧（劣弧）上，，则的最大值是 A． B． C． D． 【提分秘籍】 形如，求值或者范围，其中可以理解对应系数如，称之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得 【变式演练】 1.在平行四边形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的最大值为 A．1 B． C． D．3 2.已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 3.已知的内角的对边分别为，且.M为内部的一点，且，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【题型二】等和线：和系数不全是1型 【典例分析】 1.（2021·高二单元测试）已知为等边三角形，动点在以为直径的圆上，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.（2021春·上海·高一专题练习）如图，点是半径为1的扇形圆弧上一点，，，若，则的最小值是（ 　） A． B． C． D． 【提分秘籍】 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 【变式演练】 1.（2019秋·浙江·高三温州中学校联考阶段练习）已知正三角形的边长为，是边的中点，动点满足，且，其中，则的最大值为 A． B． C． D． 2.（2023·全国·高三专题练习）在直角梯形中， ， ， ， 分别为， 的中点，以为圆心， 为半径的圆交于，点在弧上运动（如图）.若，其中， ，则的取值范围是 A． B． C． D． 3.（2023·全国·高一专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是1，是弧上不与重合的一点，设，若存在最大值，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【题型三】等和线