专题3-2 立体几何中的体积，表面积范围与最值·不建系-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题3-2 立体几何中的体积表面积范围与最值·不建系 三元均值不等式：， 应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值 （1）；（2） 可以跳过求导的操作得出最值 2022新高考1卷第8题 1．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. [方法二]：基本不等式法（3元） 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 2022年全国乙卷·文12·理9 2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 重点题型·归类精讲 题型一 利用基本不等式求最值 2024届·江苏省南京外国语学校阶段测（10月） 1． 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值. 【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直， 所以由长方体模型可知，，即. ，当且仅当时，取等号. 即的最大值为 2． 已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为_____． 【答案】 【详解】试题分析：设正六棱柱的底面边长为，高为，则，正六棱柱的体积 ，当且仅当时，等号成立，此时，可知正六棱柱的外接球的球心在是其上下点中心的连线的中点，则半径为，所以外接球的表面积为． 广东省六校2023届高三上学期第一次联考数学试题 3． 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠”的表面上有四个点，满足面ABC，，若，则该“鞠”的体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥的外接球的球心到所有顶点距离相等，且都为球半径，即可找到球心的位置，然后在直角三角形中，根据基本不等式即可求解最小值，进而可得球半径的最小值. 【详解】取中点为,过作,且,因为平面ABC,所以平面.由于,故,进而可知,所以是球心,为球的半径. 由,又,当且仅当,等号成立,故此时,所以球半径,故,体积最小值为 故选:C 4． 已知长方体的外接球O的体积为，其中，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】A 【分析】设，根据长方体的外接球O的体积和，可求得外接球的半径，根据基本不等式求得的最大值，再代入三棱锥的体积公式，即可得到答案； 【详解】设， ∵长方体的外接球O的体积为，， ∴外接球O的半径， ∴， ∴， ∴， ∵O到平面的距离， ， ∴三棱锥的体积． ∴三棱锥的体积的最大值为1． 5． 将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，利用三角形相似求得与的关系式，写出圆柱的体积，利用不等式，即可求解. 【详解】解：设圆柱的