专题3-1 几何法求二面角，线面角-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题3-1 几何法求二面角，线面角 立体几何空间向量求解过程，丧失了立体几何求解的乐趣，无形中也降低了学生的空间想象能力。这是空间向量求解的巨大优点，也是缺点，就这么共存着。其实不建系而直接计算真的很比较锻炼空间想象的能力，方法上也更灵活一些，对于备考的中档学生来说，2种方法都要熟练掌握。 方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 第二步：过垂直B作l的垂线OB ∠AOB即为二面角 且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC， 则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 例题：一题多解 2023汕头二模T20 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是所在棱上的中点. （1）求平面APQ与平面ABCD夹角的余弦值 （2）补全截面APQ 2023全国乙卷数学(理)T9——由二面角求线面角 1．已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 2021·新高考1卷·T20——由二面角求线段长 2．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 重点题型·归类精讲 题型一 定义法 1． 如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°. (1)求证：平面MAP⊥平面SAC. (2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值； 2． (湛江期末)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，点M，N分别是PB，AC的中点，且MN⊥AC． （1）证明：BC⊥平面PAC． （2）若PA＝4，AC＝BC＝，求平面PBC与平面AMC夹角的余弦值．(几何法比较简单) 3． 如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．    (1)证明：平面平面PAD； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值． 题型二 三垂线法 4． (佛山期末)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PC的中点． （1）求证：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P－BC－D的余弦值． 5． 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， （2023广州一模T19） （1） 求证：；（2）求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值. 6． 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点． （1）证明：； （2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积． 7． （2023·浙江·统考二模）如图，在三棱柱中，底面平面，是正三角形，是棱上一点，且，. (1)求证：； (2)若且二面角的余弦值为，求点到侧面的距离. 8． 如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. (1)在线段上是否存在点F，使得平面?说明理由； (2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值. 题型三 作2次交线的垂线 9． 在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. （杭州二模） （1）求证：AC⊥SB；（2）若AB＝2，，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值． 题型四 找交线 10． 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCI)是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝2，PD⊥CD． (1)证明：AB⊥PB； (2)若平面PAB⊥平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值． （广东省二模T19） 题型五 转换成线线角 湖北省武汉市江汉区2023届