2.4 .1线段的垂直平分线的性质和判定（配套课件）-【鸿鹄志·名师测控】2023-2024学年八年级上册数学（湘教版）

线段的垂直平分线的 性质和判定 学习目标 1．通过观察，得出并理解线段垂直平分线的概念． 2．掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理． 3．能够证明线段垂直平分线的性质定理并能够用它们解决问题． 【学习重点】 掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理． 【学习难点】 线段垂直平分线的性质定理的综合运用． 情景导入 问题1　下面图形中哪些是轴对称图形？如果是，请说出它的对称轴． 图1 图2 图3 3 问题2　如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系？(如图2，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称) 图2 知识模块一　探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理 (一)合作探究 自学互研 1.如图，在线段AB的垂直平分线l 上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？ 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 2.我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？ 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论 （1）当点P在线段AB上时， 因为PA=PB， 所以点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. 因为PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 如果两点A、A′关于直线l对称，则l是线段______的垂直平分线；如果l是线段AA′的垂直平分线，则点_____与点____关于直线l对称． 结合轴对称的性质可以归纳得出线段的垂直平分线的性质定理与判定定理： 1．线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 2．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． AA′ A A′ (二)自主学习 1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段：_______________________________________． BE＝CE，BD＝CD，AE＝AC＝EC＝BE 2．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝_____． 70° 知识模块二　运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题 (一)自主学习 例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. (二)合作探究 1．已知：如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上． 证明：连接OB. ∵OM是AB的垂直平分线(已知)， ∴OA＝OB (线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等)． ∵OA＝OC(已知)， ∴OB＝OC(等量代换)． ∴点O在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)．　　 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点N，垂足为M. (1)求△AEN的周长； (2)求∠EAN的度数； (3)判断△AEN的形状． 解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：AE＝BE，AN＝NC，因此△AEN的周长等于BC的长，即△AEN的周长为12； (2)在△ABC中，因为∠BAC＝120°，AB＝AC，所以∠B＝∠C＝30°，再由题中条件易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°，所以∠EAN＝60°； (3)由(2)易知△AEN是等边三角形． 检测反馈 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种. A 无数 3.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若P