第五章 2.2 用函数模型解决实际问题-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　用函数模型解决实际问题 　用函数模型解决实际问题 问题：某星级旅馆有150间标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下： 定价(元/间) 住房率 160 55% 140 65% 120 75% 100 85% 欲使每天的营业额最高，应如何定价？ 提示：设该旅馆每天的营业额为y元，定价为(160－x)元/间，则住房率为%，于是y＝150(160－x)(55＋·10)%. 由于(55＋·10)%≤1，所以0≤x≤90. 由y＝150(160－x)%＝－(x－25)2＋13 668.75，可知当x＝25，即160－x＝135时，y取得最大值，ymax＝13 668.75. 所以该旅馆定价为135元/间时，每天的营业额最高． 结论：数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决．用图表示数学建模的过程： [小组探究] 1．在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？ (1)在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？ (2)在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ 解：(1)可选择指数函数模型． (2)二次函数模型． 2．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元； 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． (1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ 解：设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x. (1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000. 因为y1＜y2，故应选择第2个方案处理污水． (2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元． 因为y1＞y2，故应选择第1个方案处理污水． [互动探究] 　二次函数模型的应用 　渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值． 【解】　(1)根据题意知，空闲率是，故y关于x的函数关系式是y＝kx·，0≤x＜m. (2)由(1)知，y＝kx·＝－x2＋kx＝－·＋，0≤x＜m，则当x＝时，y取得最大值，ymax＝. 所以鱼群年增长量的最大值为. 二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题． 1．有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值． 解：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S， 则由图可得9x＋πx＋6y＝l， 所以6y＝l－(9＋π)·x， 所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x]＝－x2＋lx＝－·＋. 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大． 由6y＞0，得0＜x＜. 因为0＜＜， 所以当x＝，y＝＝，即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝. 　指数函数模型的应用 　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 【解】　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%