第五章 1.2 利用二分法求方程的近似解-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．2　利用二分法求方程的近似解 　二分法 背景：在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在1 000元之内的一款手机，选手开始报价，选手说“800”，主持人说“高了”；选手说“400”，主持人说“低了”． 探究1：如果是你，你知道接下来该如何竞猜吗？ 提示：接下来应该猜“600”，即区间[400，800]的中点． 探究2：通过这种方法能猜到具体价格吗？ 提示：可以，通过不断地缩小价格所在的区间，直至猜到手机的价格． 探究3：同样，上节课我们已经知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2，3)内，那么如何缩小零点所在区间(2，3)呢？ 提示：取区间(2，3)的中点x0＝2.5，验证f(2)·f(2.5)＜0是否成立，若成立，则函数f(x)的零点在区间(2，2.5)内，否则在(2.5，3)内． 结论：1.二分法的定义 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 2．二分法求函数零点近似值的步骤 [小组探究] 1．用二分法求方程近似解时，相应函数应满足哪些条件？ 解：应满足①f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断．②在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)＜0. 2．当区间(a，b)的长度达到精确度时，如何确定零点的近似值？ 解：当区间长度达到精确度时，除可用区间的端点代替近似值外，也可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 3．“精度”与“精确到”是一回事吗？ 解：不是一回事，这里所谓的“精度”是指区间的长度达到某个规定的数值ε，即|a－b|＜ε.而“精确到”是指某个数的数位达到某个规定的数位，如计算1－精确到0.01，即为0.33. [互动探究] 　二分法定义的理解 　(多选题)以下每个图象表示的函数都有零点，则能用二分法求函数零点近似值的是(　　) 【解析】　根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 【答案】　ABD 二分法求方程近似解应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　) A. f(x)＝3x－1　　　　　 B. f(x)＝x3 C. f(x)＝|x| D. f(x)＝ln x 解析：对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x＞0时，f(x)＞0；当x＜0时，f(x)＞0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值． 答案：C 　用二分法求方程的近似解 　用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精度为0.1)． 【解】　由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如表： 端点或中点坐标 端点或中点的函数值 取区间 a0＝1，b0＝2 f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0 (1，2) x1＝＝1.5 f(1.5)＝0.375＞0 (1，1.5) x2＝＝1.25 f(1.25)≈－1.046 9＜0 (1.25，1.5) x3＝＝1.375 f(1.375)≈－0.400 4＜0 (1.375，1.5) x4＝＝1.437 5 f(1.437 5)≈－0.029 5＜0 (1.437 5，1.5) 从表中可知|1.5－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数y＝x3－3精确度为0.1的正零点可取为1.5. 利用二分法求方程近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z； (2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M； (3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点． 2．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067 f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060 根据上述数据，可得