第五章 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　方程解的存在性及方程的近似解 1．1　利用函数性质判定方程解的存在性 　函数的零点 背景：在初中数学中，我们学习了利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况，今天我们研究如何从函数角度判定方程x2－2x－3＝0实数根的存在性． 问题：求函数y＝x2－2x－3图象与x轴交点坐标和对应方程的根？ 提示：图象如图所示，函数y＝x2－2x－3与x轴的交点为(3，0)和(－1，0)；方程的根为x1＝3和x2＝－1. 结论：函数零点的定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． 　零点存在定理 问题：观察上面函数y＝x2－2x－3的图象发现函数在区间(－2，1)内有零点，在区间(2，4)内也有零点，计算f(－2)·f(1)与f(2)·f(4)，你能发现乘积有什么特点？ 提示：f(－2)·f(1)＜0；f(2)·f(4)＜0，即乘积小于零． 结论：零点存在定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． 注意：①这里说“在区间(a，b)内，方程f(x)＝0至少有一个解”，只说明了方程f(x)＝0解的存在，并不能判断具体有多少个解． ②当f(a)·f(b)＞0时，方程f(x)＝0也可能有解． [小组探究] 1．若函数y＝f(x)不同时满足零点存在的两个条件，是否可以断定该函数在区间(a，b)上没有零点？ 解：不满足零点存在的两个条件也不能说就没有零点．如图， f(a)·f(b)＞0，y＝f(x)在区间(a，b)上仍然有零点． 2.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)＜0是否一定成立？ 解：不一定成立，由图象可知，说明零点存在性定理不可逆． [互动探究] 　求函数的零点或判断零点的个数 　(1)函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________． (2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为________． 【解析】　(1)令x2－3x－4＝0得x＝4或－1. (2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝的解．作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝的图象， 由图象可知，两函数共有两个交点， 故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点． 【答案】　(1)4或－1　(2)2 1．函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：画出函数y＝f(x)的图象，则图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 2．判断函数零点个数的三种常用方法 (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． (2)用定理：零点存在定理． (3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点． 1.函数f(x)＝的零点个数为(　　) A. 0　　　　　　　　　 B. 1 C. 2 D. 3 解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3； 当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 所以函数f(x)＝有2个零点． 答案：C 2．f(x)＝log2x＋2－x零点的个数为________． 解析：函数对应的方程为log2 x－x＋2＝0，即求函数y＝log2 x与y＝x－2图象交点个数． 在同一坐标系下，画出两个函数的图象，如图，知有2个交点，从而函数y＝log2 x－x＋2有两个零点． 答案：2 　函数零点所在区间的判断 　设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是(　　) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4) 【解析】　设函数f(x)＝ln x＋x－4，则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线． f(1)＝ln 1＋1－4＝－3＜0， f(2)＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3－1＞0，f(4)＝ln 4＞0， 所以f(2)·f(3)＜0， 所以x0∈(2，3)． 【答案】　C 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 3．根据表格中的数据，可以断定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间