第四章 对数运算与对数函数 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 考点一　与对数函数有关的函数的定义域 　(1)函数y＝·ln(1－x)的定义域为(　　) A. (0，1)　　　　　　　 B. [0，1) C. (0，1] D. [0，1] 【解析】　由解得0≤x＜1，故选B. 【答案】　B (2)函数f(x)＝的定义域为________． 【解析】　由解得0＜x≤. ∴f(x)的定义域为{x|0＜x≤}． 【答案】　{x|0＜x≤} 解答此类题目要注意以下几点： ①分式的分母不等于零； ②偶次根式的被开方数大于或等于零； ③对数式的真数大于零； ④要根据题意，构造对数不等式求解． 考点二　与对数运算有关的对数函数求值 　(1)已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A. －　　　　　 B. － C. － D. － 【解析】　当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3， 即2a－1＝－1，不成立，舍去； 当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3， 即log2(a＋1)＝3，得a＋1＝23＝8， ∴a＝7，此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－. 【答案】　A (2)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　) A. 3　　 B. 6　　　C. 9　　 D. 12 【解析】　由已知得f(－2)＝1＋log24＝3，又log212＞1， ∴f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，故f(－2)＋f(log212)＝9. 【答案】　C 求对数值，即要考虑对数的运算性质与法则，还要考虑与指数的互化． 考点三　与对数函数有关的图象辨识与应用 　(1)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　) A. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 【解析】　∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1， ∴只需将y＝lg x的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg的图象． 【答案】　C (2)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有(　　) A. 10个 B. 9个 C. 8个 D. 1个 【解析】　画出这两个函数的图象，如图所示，可以看出交点有10个． 【答案】　A (3)已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a＞0，a≠1)，若f(4)·g(－4)＜0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　) 【解析】　由f(4)·g(－4)＜0知a2·loga4＜0，∴loga4＜0，∴0＜a＜1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都是减函数． 【答案】　B 借助图象的变换方法作图，通过函数的性质及图象的特征点辨识图象． 考点四　对数函数的性质及应用 　(1)(多选题)若a＞b＞1，0＜c＜1，则(　　) A. ac＞bc B. abc＞bac C. a logbc＜blogac D. logac＜logbc 【解析】　对于A，y＝xc(c＞0)为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，故A正确；对于B，abc＞bac⇔＞，又y＝是减函数，故B正确；对于C，a logbc－b logac＝－＝＜0，故C正确；对于D，由对数函数的性质可知D不正确，故选ABC. 【答案】　ABC (2)函数f(x)＝lg x2的单调递减区间是________． 【解析】　f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lg u在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减． 【答案】　(－∞，0) (3)已知函数f(x)＝lg . ①若f(x)为奇函数，求a的值； ②在①的条件下，若f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)，求m，n的值． 【解】　①∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0， 即lg＋lg＝0，∴＝1， 解得a＝1(a＝－1舍去)． ②由①知f(x)＝lg，则＞0，即或解得－1＜x＜1，即其定义域为(－1，1)． ∵x∈(－1，1)时，t＝＝－1＋为减函数，而y＝lg t在定义域内为增函数，∴f(x)＝lg在其定义域内是减函数，又f(x)在(m，n)上的值域为(－1，＋∞)， ∴f(n)＝lg＝－1，f(m)无意义，∴n＝，m＝－1. 即m＝－1，n＝. 1．研究对数函数的单调性，首先要确定其定义域，再看底数的取值． 2．对数函数本身不具有奇偶性，但对数函数与其它函数复合，该函数就可