第四章 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　对数函数 3．1　对数函数的概念 3．2　对数函数y＝log2x的图象和性质 　对数函数的概念 问题：对于a＞0，a≠1，由y＝ax，任给一个正数y，能确定唯一的x吗？ 提示：能． 结论：1.定义：对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay． 习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，对数函数常常写成y＝logax(a＞0，且a≠1)，其中a称为底数． 2．对数函数具有以下基本性质： (1)定义域是(0，＋∞)； (2)图象过定点(1，0)． 　反函数 现象：在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)． 结论：习惯上，对数函数表示为y＝logax(a＞0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a＞0，且a≠1)．因此，指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数． 　对数函数y＝log2x的图象和性质 现象：在坐标系中，把x轴和y轴的字母表示互换，y＝2x的图象就变为y＝log2x的图象，再将图象翻转，使x轴在水平位置，可得到通常的y＝log2x的图象． 结论：1.函数y＝log2x的图象如图．与y＝2x的图象关于y＝x对称． 2．对数函数y＝log2x的性质 图象特征 函数性质 过点(1，0) 当x＝1时，y＝0 在y轴的右侧 定义域是(0，＋∞) 向上、向下无限延伸 值域是R，单调递增 在直线x＝1右侧，图象位于x轴上方；在直线x＝1左侧，图象位于x轴下方 若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0 [小组探究] 1．若f(x)＝log2x，则f(4)＝________；f＝________． 答案：2　－1 2．若f(x)＝lg x，则f(100)＝________． 答案：2 3．y＝logx的反函数为________． 答案：y＝ 4．比较大小：log20.3________log20.4； log0.40.5________log0.50.4. 答案：＜　＜ [互动探究] 　对数函数的概念 　已知下列函数： ①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝ln x(x＞0)； ④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a是常数)．其中是对数函数的是________．(填序号) 【解析】　对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x, 故②不是对数函数；对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数．故填③. 【答案】　③ 【探究】　已知对数函数y＝f(x)过点(4，2)，则f(x)＝________． 解析　设f(x)＝logax(a＞0，a≠1)． ∵loga4＝2，∴a2＝4.∴a＝2. ∴f(x)＝log2x. 答案：log2x. 判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式． 1．函数y＝(a2－4a＋4)·logax是对数函数，则a＝________． 解析：由题意知解得a＝3. 答案：3 　对数函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)y＝loga(9－x2)； (2)y＝log2(16－4x)． 【解】　(1)由9－x2＞0，得－3＜x＜3， ∴函数y＝loga(9－x2)的定义域是{x|－3＜x＜3}． (2)由16－4x＞0，得4x＜16＝42，由指数函数的单调性得x＜2，∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x＜2}． 【探究】　若本例(1)变为y＝log(x－1)(9－x2)．求其定义域． 解：由题意∴1＜x＜3且x≠2， 函数定义域为(1，2)∪(2，3)． 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.同时，还要看对数函数在解析式中所处的位置，对对数函数再限制． 2．求下列函数的定义域． (1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(1－x)5； (3)y＝；(4)y＝ . 答案：(1){x|x＜1}　(2){x|x＜1，且x≠0} (3){x|x＜4且x≠3}　(4){x|＜x≤1} 　对数函数y＝log2x的图象和性质的应用 　根据函数f(x)＝log2x的图象和性质求解下列问题． (1)求y＝log2(2x－1)在[2，14]上的最大值； (2)求满足log2(2x－1)＞log2(x2－16)的x的范围． 【解】　(1)当x∈