第四章 2.2 换底公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　换底公式 　换底公式 问题：有些计算器上只有常用对数键“LOG”(即“lg”)和自然对数键“LN”(即“ln”)，对一般的底数a＞0，且a≠1和b＞0，要计算logab，必须将它转换成常用对数或自然对数．如何转换呢？ 结论：换底公式：一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则 logab＝． 这个结论称为对数的换底公式． 推广：(1)a＞0，b＞0，a≠1，b≠1.logab·logba＝1． 故有倒数性质：logab＝． (2)a＞0，b＞0，a≠1，logaαbβ＝logab． [小组探究] 1．计算log2781＝________． 答案： 2．若log264＝mlog864.则m＝________． 答案：3 3．log25·log58＝________，log7216·log3649＝________． 答案：3　3 [互动探究] 　利用换底公式求值 　求下列各式的值： (1)·log6432； (2)(log25＋log4125)·； (3)log7·log7·log5·log5 . 【解】　(1)法一：原式＝÷log23·＝÷log23×＝. 法二：原式＝÷·＝··＝. (2)原式＝[log25＋log2(5 )]· ＝log2(25 )·log52＝log25·log52 ＝log25·log52＝. (3)原式＝log7···＝log＝1. 【探究】　若本例的(3)改为： ①求logab·logbc·logcd·logda的值．(a、b、c、d都为正数，且都不等1) ②求logab·logbc·logcd.(a、b、c、d都为正数，且都不等1) 解：①原式＝logab···＝logaa＝1. ②原式＝logad. 1．在运用对数的运算性质进行运算时，所有对数必须同底，故要先化对数为同底的对数式． 2．在化简对数式，即换底时，若能结合底数间的关系恰当地选用一些重要结论(例如logab＝，logambn＝logab，loganbn＝logab等)，则能达到事半功倍的效果． 1．化简：(log43＋log83)(log32＋log92)＝(　　) A. 　　　　　　　　 B. C. 1 D. 2 解析：原式＝ ＝ ＝×××＝. 答案：B 　已知log189＝a，18b＝5，求log3645. 【解】　法一：∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b， 于是log3645＝＝＝＝＝. 法二：∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b， 于是log3645＝＝＝. 用已知的对数式表示其它对数式，关键是将被表示的对数通过对数的运算构造出已知形式，然后替换． 2．已知＝，log74＝b，用a，b表示log4948为________． 解析：由＝，log74＝b，得a＝log73，b＝log74， ∴log4948＝＝＝＝. 答案： 　利用换底公式证明等式求参数值 　已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. (1)求p的值． (2)证明：－＝. 【解】　(1)设3x＝4y＝k， ∴x＝log3k，y＝log4k. 由2x＝py得，2log3k＝plog4k， ∴p＝＝＝＝2log34＝4log32. (2)证明：由(1)得z＝log6k， ∴－＝－＝logk6－logk3＝logk2， ＝＝＝＝logk2， ∴－＝. 应用对数的运算性质解对数方程的三种方法 (1)定义法：解形如b＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数函数的定义等价转化为f(x)＝ab求解． (2)转化法：形如logaf(x)＝logag(x)(a＞0，a≠1)的方程，等价转化为f(x)＝g(x)，且求解． (3)换元法：适用于f(logax)＝0(a＞0，a≠1)形式的方程的求解问题，这类方程一般可通过设中间变量的方法(换元法)来解． 3．已知2x＝3y＝12z≠1，求证：＋＝. 证明：因为2x＝3y＝12z≠1，所以x，y，z都不等于0. 由2x＝12z，3y＝12z和对数换底公式，得 x＝log212z＝z·log212＝z·， y＝log312z＝z·log312＝z·， 所以＋＝＝·＝. 　对数运算的综合应用 　已知a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值． 【解】　原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0. 设t＝lgx，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0， ∴t1＋t2＝2，t1t2＝. 由已知a，b是方程的两根，则t1＝lg a，t2＝lg b， 即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝， ∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· ＝ ＝(