第三章 3.2 第二课时 指数函数图象和性质的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　指数函数图象和性质的应用 　不同底数的指数函数图象相对位置 问题：y＝2x、y＝3x、y＝、y＝的图象在同一坐标系中位置关系怎样？ 提示：图象如图所示： 结论：1.对于函数y＝ax和y＝bx(a＞b＞1)： (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1. 2．对于函数y＝ax和y＝bx(0＜a＜b＜1)： (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1. 3．函数y＝ax与y＝a－x及y＝的图象．关于y轴对称，单调性相反．(a＞0，a≠1) [小组探究] 1．如图所示为指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是(　　) A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c 答案：B 2．比较下列各题中两个数的大小． (1)2，；(2)20.1，30.2. 答案：(1)2＞　(2)20.1＜30.2 [互动探究] 　指数函数图象的变换 　画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的． (1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|； (4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x. 【解】　(1)如图(1)所示，y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到； (2)如图(2)所示，y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到； (3)如图(3)所示，y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的； (4)如图(4)所示，y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位长度，然后将其x轴下方的图象对称到x轴上方得到的； (5)如图(5)所示，y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称； (6)如图(6)所示，y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称． 翻折变换：(1)函数y＝|f(x)|的图象，由函数y＝f(x)在x轴上方的图象与在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方合并而成；(2)函数y＝f(|x|)的图象，由函数y＝f(x)(x≥0)的图象及其关于y轴对称的图象合并而成． 1．画出下列函数的图象并根据图象求单调区间． (1)y＝|2x－2|；(2)y＝2－|x|. 解：(1)y＝|2x－2|＝的图象如图． 由图象可知函数y＝|2x－2|的递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)． (2)y＝2－|x|＝的图象如图． 由图象可知函数y＝2－|x|的递增区间为(－∞，0)，递减区间为[0，＋∞). 　利用图象求参数值 　若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． 【解析】　当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图①所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾； 当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图②所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，即为所求． 【答案】　 数形结合法，求两函数图象的交点． 2．若函数f(x)＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(　　) A. a＞1，且b＜1　　　 B. 0＜a＜1，且b＜0 C. 0＜a＜1，且b＞0 D. a＞1，且b＜0 解析：已知函数f(x)＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，我们画出草图如图所示．由函数图象可得即解得故D正确． 答案：D 　比较幂值的大小 　比较下列各题中几组数的大小． (1)，；(2)，； (3)0.20.3，0.30.2；(4)40.9，80.48，. 【解】　(1)∵0＜＜1，∴函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，∴＜. (2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图象，如图所示． 当x＝－0.5时，由图象观察可得＞. (3)∵0＜0.2＜0.3＜1，∴指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，∴0.20.2＜0.30.2. 又根据指数函数y＝0.2x在R上是减函数可得0.20.3＜0.20.2，∴0.20.3＜0.30.2. (4)40.9＝21.8，80.48＝21.44，＝21.5，根据y＝2x在R上为增函数，可得21.8＞21.5＞21.44，即40.9＞＞80.48. 利用指数函数的单调性、图象或中间量比较大小的方法． (1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．