第三章 §2 指数幂的运算性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　指数幂的运算性质 　实数幂的运算性质 问题：当a，b是正数，m，n是正整数时， am·an＝am＋n，(am)n＝am n，(ab)m＝ambm， m，n能推广到任意实数吗？ 提示：能． 结论：对于任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面的运算性质： (1)aα·aβ＝aα＋β； (2)(aα)β＝aαβ； (3)(ab)α＝aαbα． 另外，有＝aα－β；＝. [小组探究] 化简： (1)32×3×3－3＝________； (2)a·a－2·a＝________(a＞0)； (3)＝________． 答案：(1)　(2)　(3) [互动探究] 　用指数幂的运算性质求值 　计算下列各式的值． (1)(0.027)＋－； (2)×＋80.25× ＋( ×)6. 【解】　(1)(0.027)＋－＝()2＋ － ＝0.09＋－＝0.09. (2)原式＝8(－1)×(－)×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6＝2＋2＋＋22×33＝112. 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数、化根式为分数指数幂、化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．但化简的结果，形式上要统一，不能既含根号，又含分数指数幂． 1．计算：(0.064)－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋(0.01). 解：原式＝[(0.4)3]－－1＋(－2)－4＋2－3＋[(0.1)2]＝(0.4)－1－1＋＋＋0.1＝. 　用指数幂性质化简含参数的代数式 　化简：(1)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)； (2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (3)(1－a)[(a－1)－2(－a)]. 【解】　(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－·b＋－＝4ab0＝4a. (2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－. (3)由(－a)有意义知，－a≥0，∴a≤0，a－1＜0.所以 原式＝(1－a)[(1－a)－2(－a)]＝(1－a)(1－a)－1(－a)＝(1－a)0(－a)＝(－a). 化简指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的，无括号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除，最后加减．负指数幂化为正指数幂的倒数． 2.化简：. 解：＝＝m－＋m. 3．化简：. 解：＝5×(－4)××x(－)－(－1) －·y－－ ＝24x0y＝24y. 　条件求值 　(1)已知a2x＝ ＋1，求的值． (2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求的值． 【解】　(1)令ax＝t，则a2x＝t2，∴t2＝ ＋1. ∴＝＝ ＝t2＋t－2－1＝ ＋1＋－1＝ ＋1＋ －1－1＝2 －1. (2)∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，∴ ∵a＞b＞0，∴ ＞. ∴()2＝＝＝＝， ∴＝＝. 含条件求值的原则和方法技巧 (1)原则：对于含条件式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值．也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特征，然后求值． (2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代换”的技巧、换元思想． 4．已知a＋a－＝4，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3). 解：将已知条件变形(平方)，利用整体代换法求解． (1)∵a＋a－＝4， ∴(a＋a－)2＝a＋a－1＋2＝16. ∴原式＝a＋a－1＝14. (2)∵(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝196， ∴原式＝a2＋a－2＝194. (3)∵a－a－＝(a)3－(a－)3， ∴＝ ＝a＋a－1＋1＝15. 　指数幂的运算与方程 指数幂拓展到实数范围，对含有指数形式的方程利用指数运算性质更利于求解． 　(1)已知a＞0，b＞0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值． (2)已知67x＝27，603y＝81，求－的值． 【解】　(1)法一：∵a＞0，b＞0，又ab＝ba， ∴(ab)＝(ba)⇒a＝b⇒a＝(9a)， ∴a＝9⇒a8＝32⇒a＝ . 法二：因为ab＝ba，b＝9a， 所以a9a＝(9a)a，即(a9)a＝(9a)a， 所以a9＝9a，a8＝9，a＝ . (2)由67x＝33，得67＝3，603y＝81得603＝3， ∴3－＝＝9＝32， ∴－＝2，故－＝－2. 基础巩固 1．若a∈R，则下列式子恒成立的是(　　) A. a＝a　　　　　 B. ＝ C. (a)2＝a2 D. ＝a 答案：B 2．计算 ＋ 的值为(　　) A. 1 B. －1 C. π D. －π 答案：B 3．化简 ·的