第六章 4.1 样本的数字特征-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§4　用样本估计总体的数字特征 4．1　样本的数字特征 　平均数、中位数、众数、极差 问题：某公司员工的月工资情况如表所示： 月工资(元) 9 000 6 000 5 000 3 000 2 000 员工(人) 1 2 4 6 12 月工资(元) 1 800 1 700 1 600 1 500 员工(人) 8 20 5 2 (1)初中时我们曾学过平均数、中位数、众数、极差、方差等，试分别计算该公司员工工资的平均数、中位数、众数和极差． (2)若从中选取一个最能反映该公司工资水平的特征数字，如果你是该公司的经理，你会选取哪个特征数字？如果你是一个想要应聘该公司的大学生，你会更加关注哪个特征数？如果你是一名民生调查员，你会更关注哪个特征数？ 提示：(1)该公司员工工资的平均数约为2 373元，中位数为1 800元，众数为1 700元，极差为7 500元． (2)公司经理为显示本公司员工的工资水平高而采用平均数2 373元来作为工资水平的代表；如果是一名想要应聘该公司的大学生，会关注众数1 700元，因为每月1 700元工资的员工人数最多，同时还会关注极差，因为极差能意味着在该公司的工资有较大的上升空间；民生调查者可能会更关注中位数，以便了解多数人的工资水平． 结论：平均数、中位数、众数都刻画了一组数据(样本)的“中心”位置，通常称它们为数据的集中程度参数．平均数是指这组数据的平均值，中位数是指这组数据中不大于和不小于它的数据所占比例都不低于的数值，众数是指这组数据中出现次数最多的数据． 　方差与标准差 问题：甲、乙两名战士在相同条件下各射靶十次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)甲、乙两战士命中环数的平均数甲，乙各是多少？ (2)由甲，乙能否判断两人的射击水平？ (3)观察上述两组数据，你认为哪个人的射击水平更稳定？ 提示：(1)甲＝7环；乙＝7环． (2)由于甲＝乙，故无法判断两人的射击水平． (3)从数字分布来看，甲命中的环数较分散，乙命中的环数较集中，故乙的射击水平更稳定． 结论：1.方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度．标准差的平方s2叫作方差． 2．标准差与原数据单位相同，计算方差的算术平方根，得s＝＝ ，称之为标准差． [小组探究] 1．一组数据的众数、中位数、平均数和极差是否是唯一的？ 解：中位数、平均数和极差是唯一的，而众数可能是不唯一的． 2．在极差、众数、平均数、中位数、方差中哪些反映了该组数据的集中趋势？哪些反映了数据的离散程度？ 解：众数、中位数、平均数都反映了一组数据的集中趋势，而极差、方差反映了数据的离散程度． [互动探究] 　众数、中位数、平均数的计算及应用 　某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表. 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？ 【解】　(1)该公司职工月工资的平均数是＝1 500＋×(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是＝1 500＋(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 众数、中位数、平均数的计算及应用技巧 (1)深刻理解和把握平均数、中位数、众数在反映样本数据上的特点，并结合实际情况，灵活应用． (2)如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值．在实际应用中，如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们作出决策． (3)平均数对极端值敏感，而中位数对极端值不敏感．因此两者结合，可较好地分析总体的情况． 1．在一次中学田径运动会上，参加男子跳高的1