第二章 4.1 第一课时 函数奇偶性的定义及图象-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§4　函数的奇偶性与简单的幂函数 4．1　函数的奇偶性 第一课时　函数奇偶性的定义及图象 　奇函数的定义及图象特征 背景：描点法画f(x)＝x3的图象，并观察它的对称性． 提示：作出函数f(x)＝x3的图象如图，观察图象可知它关于原点对称． 结论：一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数．奇函数的图象关于原点对称，反之亦然． 　偶函数的定义及图象特征 问题：作函数f(x)＝x2的图象，并观察它的对称性． 提示：作出函数f(x)＝x2的图象如图，观察图象可知它关于y轴对称． 结论：设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数．偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然． 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称. [小组探究] 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) 答案：B 2．(多选题)下列函数是奇函数的有(　　) A. y＝x　　　　　 B. y＝3x2 C. y＝x－1 D. y＝|x|(x∈[0，1]) 答案：AC 3．若奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)＝________． 答案：0 [互动探究] 　函数奇偶性的判断 　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x－；(2)f(x)＝(x－1)； (3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2＋2x－1. 【解】　(1)f(x)＝x－的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，显然－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(－x)＝(－x)－ ＝－x＋＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝x－是奇函数． (2)由≥0，得－1≤x<1， 即函数f(x)＝(x－1)的定义域是[－1，1)． 显然，此定义域不关于原点对称． ∴函数f(x)＝(x－1)是非奇非偶函数． (3)由1－x2≥0，得－1≤x≤1. 由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4. 故函数f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称． 显然，当x∈[－1，0)∪(0，1]时，x＋2>0， 则f(x)＝＝. ∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴f(x)＝是奇函数． (4)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， ∴f(2)＝7，f(－2)＝－1， ∴f(－2)≠f(2)，f(－2)≠－f(2)， ∴f(x)＝x2＋2x－1是非奇非偶函数． 在用定义法判断函数奇偶性时，特别要注意两点： (1)必须先确定函数定义域，若定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数．若注意不到这一点，就有可能导致错误．如：对于第(2)小题，若改为f(x)＝(x－1)，x∈(－1，1)，则f(x)就是偶函数． (2)为了方便判断函数的奇偶性，有时需对f(x)的解析式进行变形，如例(3)小题．若不先化简解析式，f(－x)与f(x)的关系无法得到，有可能找不着解题方法． 1．判断下列各函数的奇偶性． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝x2－2|x|＋1，x∈[－1，1]； (3)f(x)＝. 解：(1)既不是奇函数，也不是偶函数； (2)函数为偶函数； (3)既不是奇函数，也不是偶函数. 　奇、偶函数的图象问题 　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请把函数y＝f(x)的图象补充完整； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间； (3)根据图象写出使f(x)＜0的x的取值集合． 【解】　　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． 1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性． (2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象． (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略 (1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题． (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察． 2．(1)在本例2条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？ (2)若将本例2中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解：(1)结合例2的图象可知，y的取值范围是(－1，0)时，有4个不同的x值与之对应． (2)①由题意作出函数图象如图所示： ②据图可知，函数的单调递增区间为(－1，1)． ③据图可知，使f(x)<0的x的取值集