第二章 2.2 第一课时 函数的表示法-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　函数的表示法 第一课时　函数的表示法 　函数的三种表示方法 背景：(1)心电图 (2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 探究：上图和表中表示的两个量的关系是函数关系吗？ 提示：是函数的关系． 结论：1.函数的表示方法通常有解析法、列表法和图象法． 2．如果一个函数能用解析式表示出来就是解析法． 3．列表法直接通过表格读数，不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值． 4．图象法可以通过图象直观地显示函数的局部变化规律． [小组探究] 1．若一次函数y＝f(x)过点A(1，2)，B(－1，－4)，用解析式如何表示函数f(x)？其图象怎样？ 答案：f(x)＝3x－1，其图象为如图所示的直线． 2．(教材精选)下面的图象是函数图象吗？为什么？ 答案：不是函数图象．x对应的y值不唯一． [互动探究] 　用待定系数法求函数解析式 　若f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)． 【解】　∵f(x)是二次函数，∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1得c＝1，由f(x＋1)－f(x)＝2x得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x，展开整理得 2ax＋(a＋b)＝2x. ∴∴∴f(x)＝x2－x＋1. 待定系数法求函数的解析式的步骤 如果已知函数类型，可先设出含有待定系数的函数解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，求出参数，即可确定函数解析式． 1．若f{f[f(x)]}＝27x＋26，求一次函数f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b， f{f[f(x)]}＝f(a2x＋ab＋b)＝a(a2x＋ab＋b)＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b＝27x＋26， ∴解得∴f(x)＝3x＋2. 　用换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式 　(1)已知函数f(x－1)＝x2－3x＋2，求f(x＋1)． 【解】　法一：(配凑法)f(x－1)＝x2－3x＋2＝(x－1)2－(x－1)，∴f(x)＝x2－x，于是f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＝x2＋x. 法二：(换元法)设x－1＝t，则x＝t＋1，于是 f(t)＝(t＋1)2－3(t＋1)＋2＝t2－t，∴f(x)＝x2－x， 于是f(x＋1)＝(x＋1)2－(x＋1)＝x2＋x. 法三：(代入法)∵f(x－1)＝x2－3x＋2， ∴f(x＋1)＝f[(x＋2)－1]＝(x＋2)2－3(x＋2)＋2＝x2＋x. (2)若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)． 【解】　令t＝x－1，则x＝t＋1，原式变为 3f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代t，原式变为 3f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)得，f(t)＝2t＋. ∴f(x)＝2x＋. (3)已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． 【解】　将f(x)＋2f＝x(x≠0)中的x用代替． 可得f＋2f(x)＝(x≠0)． 由(x≠0)， 消去f得f(x)＝－(x≠0)． 因此，函数f(x)的解析式为f(x)＝－(x≠0)． 1．代入法与配凑法 (1)代入法：已知f(x)的解析式，求f[u(x)]的解析式时常用此法．如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)时，有f(x＋x2)＝(x＋x2)2－1. (2)配凑法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)的解析式时，可从f[g(x)]的解析式中配凑出g(x)，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．如f(＋1)＝x＋2，可以将右边凑成(＋1)2－1的形式再求解． 2．方程组法 已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式，求f(x)时，可用g(x)代替两边所有的x，得到关于f(x)及f[g(x)]的方程组，消去f[g(x)]解出f(x)即可．如f(x)与f(－x)，f(x)与f，将原式中的x用－x代替，从而得到另一个同时含f(x)与f(－x)，f(x)与f的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出f(x)． 2．(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． 解：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1， ∴f(x)＝x2－1.又＋1≥1， ∴f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)将本例(3)改为f(x)＋2f(－x)＝x.求f(x)的解析式． 解：由f(x)＋2f(－x)＝x，得f(－x)＋2f(x)＝－x.