2.2.2 函数的表示法-【经纶学霸】2026-2027学年高一数学必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

学霸黑白题数学·必修第一册·BS 2.2函数的表示法 白题 基础过关 限时40min 题组1函数的三种表示方法 6.*(2026·广东广州高一月考)函数f(x)满 1.*已知正方形的周长为x,它的外接圆的半 足若f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,则fx)= 径为y,则y关于x(x>0)的函数解析式为 () ( A.f(x)=3x B.f(x)=3 A.y= By= C.f(x)=27x+10 D.f(x)=27x+12 t(x>0) 4(x>0) 7.*多选(2026·广东佛山高一月考)已知 C.r 8x(x>0) b. 16*(x>0) 一次函数fx)满足ff(x)=4x-21,则f(x) 的解析式可能是 () 2.*苏教教材变式某学生从家中出发去学校， A.f(x)=2x-7 B.f(x)=2x+7 走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程以 C.f(x)=-2x+21 D.f(x)=-2x-21 跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学 8.*★(2026·北京东城区高一月考)已知 生离自己家的距离，横轴表示出发后的时 f(+1)=x-1,则函数f(x)的解析式 间，则下图中的四个图象中较符合该学生走 为 f(4)= 法的是 9.*求下列函数的解析式 (1)已知二次函数f(x)满足：f(0)=0, f(x+1)-f(x)=2x-3.求函数fx)的解析式； A B C (2)已知函数g(x)对于任意的x都有 3.·(2026·四川成都高一期中)根据表中数 2g(x)+g(-x)=2x-3,求函数g(x)的解 据，可得ff(12))= ( 析式 10 11 12 13 f(x) 12 11 10 12 A.12 B.10 C.11 D.13 题组2函数的解析式 4.·(2026·河北衡水中学高一期中)已知 f(2x-1)=4x+6,则f(x)的解析式为() A.f(x)=2x+1 B.f(x)=2x+2 C.f(x)=4x+2 D.fx)=2x+8 5.*(2026·山西太原高一月考)已知f(x 1)=x2+x-2,则函数f(x+1)的解析式为 A.f(x+1)=x2+5x+1B.f(x+1)=x2+3x C.f(x+1)=x2+5x+4D.f(x+1)=x2+3x+6 34 第二章函数黑白题学霸 题组3分段函数 下个月从这两家俱乐部中选择一家开展活 10.*多选(2026·湖南株洲高一月考)下列 动，其活动时间不少于15小时，也不超过 关于分段函数的说法正确的是（) 40小时.设在甲俱乐部开展活动x(15≤x≤ A.分段函数在每段定义域内都是一个独立 40)小时的收费为f(x)元，在乙俱乐部开展 的函数，因此分几段就是几个函数 活动x小时的收费为g(x)元 B.若f(x)= x,x≥0 (1)试分别写出f(x)和g(x)的解析式； 则f(1)=1 -x,x<0, (2)选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由. C.f(x)=1x-21是分段函数 D.分段函数的定义域都是R 11.*(2026·福建南安高一期中)已知函数 [x+1,x>0, f(x)={π，x=0,则ff-1))=() x2-1,x<0, A.0 B.T C.1 D.2 12.*(2026·天津南开区高一月考)设函数 f(x)= 2x-3,x≥1， 若fx)=1,则x。= x2-2x-2,x<1, 易错聚焦U A.-1或3 B.2或3 解 C.-1或2 D.-1或2或3 易错点求解析式时没有考虑定义域 13.*(2026·云南丽江高一期中)已知函数 15.*(2026·湖南衡阳高一期中)已知函 2x-1,x≥0 f(x)= x2+2,x<0, g(x)=x,则f(g(x)= 数f1-)=1- (x0),则fx)= ( () A.f(g(x))= 2x-1,x≥0， (x-1)21(x0)B.、1 4.1 x+2,x<0 x-1)21(e1) B.f(g(x))=x+2 C.4 (x-1)21(x0)D.4 (-1021(x1) C.f(g(x))=2x-1 16.*(2026·安徽蚌埠高一期末)已知函 2√-x-1,x<0, D.f(g(x))= x+2,x≥0 数：+)1，则)的解析式为 题组4函数的实际应用 14.*某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家 A.f(x)=x2+1(x≠0) 设备和服务都很好，但收费方式不同.甲俱 B.f(x)=x2+1(x≠1) 乐部每小时5元，乙俱乐部按月计费，一 C.f(x)=x2-2x+2(x≠0) 个月中30小时以内（含30小时）90元，超 D.f(x)=x2-2x+2(x≠1) 过30小时的部分每小时2元.某公司准备 35 学霸黑白题数学·必修第一册·BS 黑题能力提升 限时50min1答案P25 1.*多选(2026·湖南常德高一月考)已知 6.**人A教材变式某校要召开学生代表大会， 函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数y= 规定各班每10人推选一名代表，当各班人数 g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,若 除以10的余数大于6时，再增选一名代表， g(f(x)+2)=2,则x的值可能为 则各班推选代表人数y与该班人数x之间 的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不 0 2 3 大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4)可 f(x) 0 2 0 表示为 A=] 】 c=】 n=] 7.*(2026·山西太原高一月考)若函数 A.-2 B.0 C.2 D.4 2.*多选(2026·四川乐山高一月考)已知 f水)+且m)4,则实数m的 函数f(x)= +2,x≤-1，下列关于函数 值为 x2+1,-1<x<2, A.√6 B.√6或-√6 f(x)的结论正确的是 ( C.-√6 D.3 A.f(x)的定义域是R 8.*(2026·江苏宿迁沭阳如东中学高一期中) B.f(x)的值域是(-∞，5) 已知边长为1的正方形ABCD,E为CD边的 C.若f(x)=3,则x=√2 中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→ D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点 C→E运动，设点P经过的路程为x,△APE的 3.*(2026·河北保定高一期中)已知 面积为y,则y关于x的函数的图象大致为 f|x+1)=x2-21x|-3,则f(x)的解析式为 ( A.f(x)=x2-4x B.f(x)=x2-4x(x≥1) C.f(x)=x2+4x D.f(x)=x2+4x(x≥1) 4.*★多选(2026·浙江丽水高一期末)下列 2.5 函数中，满足f(2x)=2f(x)的是 （) A.f(x)=Ixl B.f(x)=x2 9.#(2026·福建厦门高一月考)设定义在 C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x (-∞，0)U(0,+∞)上的函数f(x)满足 5.*(2026·江西赣州高一月考)设函数 f)= x-3,x≥10， 2)2)=6r?则x店)的最小值 f(x+4)),x<10, 则f9)=() 是 () A.10 B.9 C.7 D.6 A.16 B.25 C.20 D.36 36 第二章函数黑白题学霸 10.已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且13.转已知函数f(x)=1x-31-1x+11. )=2f)-1,则) (1)求f(x)的值域； (2)解不等式：f(x)>0; 11.**(浙江高考)已知a∈R,函数f(x)= (3)若直线y=a与f(x)的图象无交点，求实 x2-4,x>2, 若f(f(6)=3,则 数a的取值范围！ Ix-31+a,x≤2， a= 12.整(2026·福建龙岩高一月考)已知函数 [x+1,x≤-2， f(x)=x2+2x,-2<x<2, 2x-2,x≥2. (1)求-5)-3)f()的值： (2)若fa)=3,求实数a的值； (3)若f(m)>m,求实数m的取值范围， 压轴挑战Ⅲ 14.禁{x}表示不小于 {2.1}=3,{-1.2}=-1,已知定义在R上 的函数f(x)满足Hx,y∈R,f(x+f(y))= f),且/o)=2则i226)1= ( A.2027 B.2026 C.2025 D.2024 37f[g(x)],令-2≤g(x)≤2，即-2≤2x+1≤2，解得-2≤x≤2， 3 即函数y=1g(幻]的定义镀为[-了，] 一题多解由f代x)=√4-x,g(x)=2x+1, 可得f[g(x)]=√4-(2x+1)=V-4x2-4x+3, 令-42-4松+3≥0，解得-) -≤x≤ 2,所以f[g(x)]的定义城为 【] 黑题 能力提升 1.ACD解析：对于A,对于任意n∈N,均存在唯一的f(n)与之对 应，符合函数的定义，可知y=f(n),n∈N是一个函数，故A正确； 对于B,C,因为f4)=5,5)=9,8)=5,故B错误，C正确； 对于D,由定义可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D正确. 2.C解析：对于A,f(x)的定义域为[L,+∞)，g(x)的定义域为 (-9,1U[1+0 先分析定义域，定义域不同，则不是同一个函数 定义域不同，所以不是同一个函数： 对于B,f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,+∞)，g(x)的定义域为R, 定义域不同，所以不是同一个函数： 对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,定义域相同，对应 关系也相同，所以是同一个函数； 对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为R,定义域相同， f代x)=√=1x,对应关系不同，所以不是同一个函数 3.A解析：-x2+4x+5≥0得-1≤x≤5，故集合A=[-1,5], g(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4，故集合B=[4,+∞)， 故A∩B=[4,5]. 4.C解析：因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4)， 所以f(x)的定义域为(-1,6) 由-3<x<4推出-1<x+2<6,即f代x)的定义域 又因为3x-1>0,即”3 所以函数()的定义域为（行，6）】 易错提醒复合函数代g(x)的定义域也是解析式中x的范围，不 要和f(x)的定义域相混. 1 5.2 解新：因为八x)=√B于是平方差关联函数， 3+a+x 所以。 a+x 3ta-=b,化简得、 /9+6a a-x 1=6, 存在两个常数a,b使该式恒成立，所以9+6a=0,此时b=1 3 则9+6a=0,解得 1 1b=1, a=-2’故a+b=-2 (b=1, 6.解：(1)①若1-a2=0,则a=±1， 当a=1时，f(x)=√6，定义域为R,满足题意； 当a=-1时，f(x)=√6x+6,定义域不为R,不满足题意 ②若1-a2≠0，则g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数， f(x)的定义域为R,g(x)≥0对x∈R恒成立， （1-a2>0, (-1<a<1, 5 {4=901-a2-241-o2)s0(a-101a+5)s07≤a<1 综合①@，得实数。的取值粒周为[] 24学霸黑白题数学·必修第一册·BS (2)命题等价于不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集为[-2,1]， 显然1-a2≠0，.1-a2<0且x1=-2,x2=1是方程(1-a2)x2+3(1- a)x+6=0的两根， +,=3(a-1 1-a2 =-1,（a2-3a+2=0, 解得a=2. 6 x1·F1- =-2 1a2=4, 念压轴挑战 7.2026解析：因为f(a+b)=fa)·f(b), 所以a+D_fa1)-1), f(a) f(a) 又f1)=2,所以a+1D-2, f(a) 则0/3)5)+…+2025）-2+2++2=2x2026-2026. f0)f(2)f(4)f(2024) 2 22函数的表示法 白题 基础过关 1.C 解析：已知正方形的周长为x,则对角线长为万。 74,从而外接圆 1√2√2 的半径为y=2×4x=8(>0）, 2.D解析：首先一开始离自己家的距离最小，则A,B错误： 开始是走，所以在前段的时间内离家的距离增加较慢，而后是跑， 所以后面这段时间内离家的距离增加较快，故C错误，D正确. 3.A解析：由表中数据可知，f(12)=10, 所以ff(12))=f(10)=12. 4.D解析：.f(2x-1)=4x+6 令2x-1=,则x=4 29 0=拟6=2 ∴.f(x)=2x+8. 5.C解析：令x-1=t,则x=t+1, f()=(+1)2+(t+1)-2=2+3, 所以fx+1)=(x+1)2+3(x+1)=x2+5x+4. 6.A解析：因为f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1, 所以f3x+1)=9x+3=3(3x+1),则f(x)=3x. 7.AC解析：设f(x)=kx+b, f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. 因为ff代x))=4x-21, 所以公4：解得=2，安2， b+b=-21, 1b=-7(b=21, 所以f(x)=2x-7或f(x)=-2x+21. 8.f(x)=x2-2x(x≥1)8解析：令t=√x+1,t≥1，则x=(t-1)2, 所以f(√x+1)=f(t)=(t-1)2-1, 所以f(x)=(x-1)2-1=x2-2x(x≥1)， 则f4)=42-2×4=8. 9.解：(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=0,得c=0,则f(x)= ax2+bx. 由f(x+1)-fx)=2x-3,得a(x+1)2+b(x+1)-(ax2+bx)=2x-3, 即2ao6-23.周比d2部 所以二次函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4x. (2)因为对于任意的x都有2g(x)+g(-x)=2x-3, 将x替换为-x,得2g(-x)+g(x)=-2x-3, 由2g(x)tg(-x)=2x-3, (2g(-x)+g(x)=-2x-3, 消去g(-x),可得g(x)=2x-1. 10.BC解析：对于A,分段函数在每段定义域内都是一个独立的函 数，但这几段组合在一起是一个函数，故A错误； 对于B,由函数的解析式可知B正确； 对于Cf(x)=1x-21= -2,x≥2，是一个分段函数，故C正确： (2-x,x<2 对于D,分段函数的定义域不都是R,如g(x)= x,x>0,故 -x,x<0, D错误 x+1,x>0, 11.B解析：函数f(x)={T,x=0, x2-1,x<0, 则f(-1)=(-1)2-1=0,所以ff(-1))=f0)=m. 12.C解析：当≥1时，fxo)=2x。3 根据分段函数的定义域分类讨论 .2x0-3=1,∴.x0=2; 当xo<1时，fxo)=x后-2x0-2, .x6-2x0-2=1,解得x0=3(舍去)，x0=-1. (2x-1,x≥0， 13.C解析：因为x≥0，又f(x)= x2+2,x<0, 所以fg(x)=2R-1. 14.解：（1)由题意知x)=5x,15≤x≤40，g()=0,15≤x≤30， (30+2x,30<x≤40. (2)由5x=90,解得x=18,当15≤x<18时，f(x)<g(x); 当x=18时f(x)=g(x); 当18<x≤30时，f(x)>g(x). 由5x>30+2x,得x>10,故30<x≤40时，fx)>g(x). 所以当15≤x<18时，选择甲俱乐部比较合算；当x=18时，两家 俱乐部一样合算；当18<x≤40时，选择乙俱乐部比较合算. ⊙易错聚焦 15.B解析：令1-x=t,则t≠1，x=1-t, 电1(：0. 可得6)=1-(1-)2、1 (1-)2(1-)21(*1), 所以f(x)= 1-)1(x≠1). 1 易错提醒已知f代g(x)的解析式，求f(x)的解析式时，f(x)的定 义域为g(x)的值域，若函数g(x)的值域不是全体实数，则所求函 数的解析式需要带有定义域 6.D解析：令=1+，可得妇 =-由题意得x≠0，则≠1， 1 因为f）1,所以e=(-1=-22, 则f(x)=x2-2x+2(x≠1). 易错提醒换元时注意新变量的取值范围。 黑题 能力提升 1.BD解析：对于A,当x=-2时，g(f(-2)+2)=g(0+2)=g(2)=1, 不符合题意，故A错误； 对于B,当x=0时，g(0)+2)=g(1+2)=g(3)=2,符合题意，故 B正确； 对于C,当x=2时，g(2)+2)=g(0+2)=g(2)=1,不符合题意， 故C错误； 对于D,当x=4时，g(f(4)+2)=g(1+2)=g(3)=2,符合题意，故 D正确. 2.BCD解析：A选项，f(x)的定义域是(-∞，2)，所以A选项错误 B选项，当x≤-1时，x+2≤1， 当-1<x<2时，0≤x2<4,1≤x2+1<5 所以f(x)的值域是(-0,5)，所以B选项正确； C选项，由B选项的分析可知，若f(x)=3, 则-1<x<2,x2+1=3,解得x=√2，所以C选项正确； D选项，画出f代x)的图象，由图可知，D选项正确. y=2 y=f(x) -1012元 3.B解析：因为f代1xl+1)=x2-21x|-3=1x2-2|x|-3, 令x+1(21),则f(t)=2-4, 注意函数的定义域 所以f(x)=x2-4x(x≥1). 4.AD解析：f(x)=Ixl,则f(2x)=I2x|=2Ix|=2f(x),故A正确： f(x)=x2,则f(2x)=（2x)2=4x2=4f(x),故B错误； f(x)=x+1,则f2x)=2x+1,而2f(x)=2x+2,所以f(2x)≠2f(x), 故C错误： f(x)=-x,则f2x)=-2x=2f(x),故D正确. 5.C解析：9<10，f(9)=ff(9+4))=ff(13)), 13>10,f(13)=13-3=10, ff(13))=f(10)=10-3=7. 6.B解析：设班级人数的个位数字为n,令x=l0m+n,(m∈N), 当0≤n≤6时，y=m, 当7≤n≤9时，y=m+1, 综上，函数关系式为y[] 7.B解析：令x+ 1=(≥2或≤-2)， 根据基本不等式，当>0时，≥2；当x<0时，t≤-2 ++2)+203 f(m)=m2-2=4,∴.m=±√6 8.A解析：当动点P在正方形ABCD边上沿A→B运动时， 则△APE的面积y=2x1=2x,0<x≤1： 当动点P在正方形ABCD边上沿B+C运动时， 则△MPs的面积为y宁(+号)x1宁(-1x1之×宁× 1 11 (2-0=4(3-0,12 当动点P在正方形ABCD边上沿C→E运动时， 则△APs的面积为y=7×(3￥)x1=(5-2),2≤25： 2*,0s1, 1 1 所以y=4(3-),1x<2, 4(5-2),2≤<2.5， 所以A正确，BCD错误 参考答案黑白题学霸25 9B解折：由题意2小)/（任）=6+，① 以代替x,得2())=。+9，② 期x2-②得到=2(6+2）， 解得fx)=x+4 所以=(：）-(+)（任4x), 化简得到f(任）=4++17≥2v6+17=25, 雪且仅当4松4即=1时，等号成立， 故x(日)的最小值是25 重难点拔求函数的解析式常见题型有以下几种： (1)根据实际应用求函数解析式；(2)换元法求函数解析式，利用 换元法一定要注意换元后参数的范围；(3)待定系数法求函数解析 式，这种方法适合求已知函数类型的函数解析式；(4)消元法求函 数解析式，这种方法适合求自变量互为倒数或相反数的函数解 析式 10子反+(>0)解折：因为=2y(）-1,① 所以（传））√任1.@ 把2代人0得)-子+分0 11.2解析：ff(6)=f6-4)=f(2)=12-31+a=3,故a=2. 12.解：(1)由题可得f-5)=-5+1=-4-3)=(-3)+2x(-3)= 3-2s因为()-高+1=-昌，所u(） )()2x() (2)①当a≤-2时，f(a)=a+1=3,解得a=2,不合题意，舍去； ②当-2<a<2时，f(a)=a2+2a=3,即a2+2a-3=0,解得a=1或 a=-3,因为1e(-2,2),-3年(-2,2)，所以a=1; ③当0≥2时，@)=2-2=3，解得a=号，符合题意 综合①②3知，当fa)=3时，a=1或a=2 5 （3)由m>m,得≤-己或2m2,或m≥2， (m+1>m(m2+2m>m(2m-2>m, 解得m<-1或0<m<2或m>2, 故所求实数m的取值范围是(-0，-1)U(0,2)U(2,+∞). 13.解：(1)若x≤-1，则x-3<0,x+1≤0，.f(x)=-(x-3)+(x+1)= 4;若-1<x≤3，则x-3≤0，x+1>0,.fx)=-(x-3)-(x+1)= -2x+2;若x>3,则x-3>0,x+1>0,∴f(x)=(x-3)-(x+1)=-4. 4,x≤-1， ∴f(x)= -2x+2,-1<x≤3， -4,x>3. 当-1<x≤3时，-4≤-2x+2<4. (x)的值域为[-4,4]. 20x或o (-2x+2>0 解①得x≤-1，解②得-1<x<1,解③得x无解. 26学霸黑白题数学·必修第一册·BS f代x)>0的解集为(-0,1)， (3)f(x)的图象如图所示. 321 八2345 3 -4 由图象可知，当a∈(-∞，-4)U(4,+∞)时，直线y=a与f代x)的 图象无交点， 专压轴桃战 14.A解析：定义在R上的函数f(x)满足Hx,y∈R,f(x+f(y)= f(f(x))+y, 取x=0,xeR,得ffy)=ff0)t, 用x表示自变量，x∈R,有ff(x)=ff(0)+x 取y=0,x∈R,得fx+f(0)=ffx), 于是f(x+f0)=ff0)+x,xeR. 而0)=分则(+2）f(分) 则f(分)）-1(+2)1+x 所以(x)=2+, 兮)1(+号)所以到子 所以f2026)=2026+2,f2026)1=2027. s1-s2阶段综合 黑题 阶段强化 1.B解析：令=2x-3,则x=3“ 2 因为f(2x-3)=6x+1, 所以0=6321=3*10， 又f(t)=16,即3t+10=16,解得t=2,所以t的值为2. 一题多解令6x+1=16,解得x=2.5, 所以t=2x-3=2. 2.ABC解析：A选项，f:A→B是A到B上的函数，则值域为B的子 集，A错误； B选项，+1)=(+1)2，其中+1≥1，所以f(x)=x2,x≥ 1,B错误； C选项，(x)=(E)的定义域为[0，+∞)，g(x)=x2的定义域为 R,故两函数不是同一个函数，C错误； D选项，⑦表示集合中没有元素，而{⑦}表示集合中有一个元素， 该元素为空集，故两者不是同一个集合，D正确。 3.A解析：将f(x)=(x-1)2,8(x)=2x+1,h(x)=,画在同-个直 角坐标系中， =2+