第二章 2.1 函数概念-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　函数 2．1　函数概念 　函数的定义 背景：你去超市买笔记本，每本价格为2元，所要买的本数为x，组成集合A，所花的钱数y组成集合B. 探究：y与x有怎样的关系，A、B是什么样的集合？ 提示：y＝2x，x∈N*，y∈N*　A、B是自然数N的子集． 结论：(1)给定实数集R中的两个非空数集A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 其中集合A称为函数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域． (2)函数的三要素为：定义域、对应关系、值域． 　相等函数 背景：笔记本的费用与笔记本的数量之间的函数，与函数f(x)＝2x相同吗？ 提示：不同． 结论：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等，即为同一函数. [小组探究] 1.反比例函数f(x)＝的定义域为________． 答案：{x|x≠0} 2．函数y＝1与y＝x0是相同函数吗？ 答案：不是 3．若f(x)＝3x2＋2x＋1.则f(0)＝________． 答案：1 [互动探究] 　函数关系的判断 　判断下列对应关系是否为定义在A上的一个函数． (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0. 【解】　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故此对应关系不是A上的函数． (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故此对应关系是集合A上的函数． (3)A中为负数的元素没有平方根，故在B中没有对应的元素，且不一定为整数，故此对应关系不是A上的函数． (4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故此对应关系是集合A上的函数． 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对无，一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 1．下列对应关系中，是从集合A到B上的函数的是______．(填写序号) ①A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8； ②A＝N，B＝{0，1，2}，f：A中的元素对应它除以3所得的余数； ③A＝B＝{1，2，3}，f：x→2x－1. 答案：①② 　求函数的定义域 　求下列函数的定义域． (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝； (4)f(x)＝－. 【解】　(1)由题意得 即 ∴x≤0且x≠－. ∴函数的定义域为 (2)由题意得解得 ∴函数的定义域为{x|x≤1且x≠0}． (3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即∴x<0且x≠－2. ∴原函数的定义域为(－∞，－2)∪(－2，0)． (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即 ∴原函数的定义域为(－∞，1)∪(1，4]． 1．求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化． 2．当使函数解析式有意义的限制条件不止一个时，确定定义域的程序应为：先把所有的限制条件都考虑全面，而不能遗漏；再分别求由每个限制条件所确定的自变量的取值集合；最后求这些集合的交集． 3．常见函数的定义域 (1)f(x)为整式型函数时，定义域为R； (2)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； (3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； (4)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2．(1)函数y＝·的定义域是________． 解析：由题意知∴x＝1. 答案：{1} (2)求y＝－＋的定义域． 解：由题意，得解得 即－≤x<0或0<x<2， 故函数y＝－＋的定义域为∪(0，2). 　判断两函数是否为同一函数 　下列各组式子是否表示同一函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝，y＝()2； (3)y＝·，y＝； (4)y＝，y＝x－3. 【解】　(1)f(x)与φ(t)的定义域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)与φ(t)的对应关系也相同， ∴f(x)与φ(t)是同一函