第二章 §1 生活中的变量关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　生活中的变量关系 　生活中的变量与关系 背景：加油站地下的储油罐是圆柱体，其大小有以下量(如图)，油罐的长度d，截面半径r.油面高度h.油面宽度w，储油量v. 探究：哪些是常量，哪些是变量？变量间有什么依赖关系？ 提示：d和r是常量，h、w、v是变量，v与h、v与w存在着依赖关系． 结论：在现实生活中，在一个变化过程中，既存在不变化的量(常量)，也存在变化的量(变量)，变 量与变量之间可能存在着确定的依赖关系，也可能存在着不确定的依赖关系．如函数关系就是两个变量之间的一种确定性关系． (1)依赖关系 一般地，在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系． (2)函数关系 如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． [小组探究] 1．在上述背景例子中，v、h、w有什么样的函数关系？ 答案：v是h的函数，w是v的函数，w是h的函数． 2．一根弹簧的重量是G，伸长量为x，弹力为y，劲度系数为k，哪些量是常量，哪些量是变量？ 答案：G、k为常量，x与y为变量． [互动探究] 　变量关系的表示 　声音在空气中传播的速度简称音速，实验测得音速与气温的一些数据如下表： 气温x/℃ 0 5 10 15 20 音速y(米/秒) 331 334 337 340 343 (1)根据表内数据作图，由图可看出变量________随________的变化． (2)用x表示y的关系式为________． (3)当气温为22 ℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距________米． 【解析】　(2)气温每升高5 ℃，音速提高3 m/s，是一次函数关系． 设y＝kx＋b，由x＝0，y＝331.∴b＝331. 由x＝5，y＝5k＋331，∴k＝，∴y＝x＋331. (3)由(2)知，当x＝22 ℃时，音速y＝×22＋331＝344.2 m/s. ∴此人与燃放烟花所在地的距离为d＝5y＝5×344.2＝1 721(米) 【答案】　(1) 音速　气温　(2)y＝x＋331　(3)1 721 借助图表可以直观地显现两个变量的关系，便于我们分析和猜想，从而发现规律． 1．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20) 提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ (4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？ 解：将每一对数据关系视点(x，y)，在坐标系中描出表中各点，如图． (1)对概念的接受能力y与提出概念的时间x存在着函数关系，y是因变量，x是自变量． (2)当x＝10时，接受能力y＝59. (3)当x＝13时，y最大为59.9. (4)当x∈[2，13]时，接受能力逐渐增强． 当x∈(13，20]时，接受能力逐渐减弱． 　依赖关系与函数关系的辨析 　下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？ ①球的体积和它的半径； ②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间； ③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势； ④正三角形的面积和它的边长． 【解】　①②③④都有依赖关系，其中①②④是函数关系． 判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应． 2．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？ (1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系； (2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系； (3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系． 解：(1)存在依赖关系，温度是时间的函数关系． (2)不存在依赖关系． (3)存在依赖关系，路程是时间的函数关系. 基础巩固 1．下列说法正确的是(　　) ①中国