第一章 预备知识 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 考点一　集合的概念与运算 两个集合的交、并、补集运算及两个集合的包含关系是高考的热点，同时集合常与方程、不等式相结合，考查方程、不等式的解法． 　(1)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝(　　) A. {1}　　　　　　　　 B. {1，2} C. {0，1，2，3} D. {－1，0，1，2，3} (2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A. {1，－3} B. {1，0} C. {1，3} D. {1，5} (3)已知全集U＝Z，A＝{x∈Z|x2－x－2≥0}，B＝{－1，0，1，2}，则(∁UA)∩B＝(　　) A. {－1，2} B. {－1，0} C. {0，1} D. {1，2} 【解析】　(1)由(x＋1)(x－2)＜0⇒－1＜x＜2，又x∈Z，∴B＝{0，1}，∴A∪B＝{0，1，2，3}．故选C. (2)由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}． (3)x2－x－2≥0⇒x≤－1或x≥2，又x∈Z， 所以∁UA＝{0，1}，所以(∁UA)∩B＝{0，1}． 【答案】　(1)C　(2)C　(3)C 1．一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． 2．运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 考点二　常用逻辑用语 主要考查全称量词命题、存在量词命题的否定，及真假命题的判定，充分、必要条件的判定． 　(1)若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则p的否定为(　　) A. 不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0 B. 存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0 C. 对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0 D. 存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0 (2)设a，b∈R，则(a－b)a2＜0是a＜b的______条件． (3)已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A. (－∞，－1) B. (－1，3) C. (－3，＋∞) D. (－3，1) 【解析】　(1)命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定为：存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0. (2)由(a－b)a2＜0可知a2＞0，所以a－b＜0⇒a＜b；而a＜b⇒a－b＜0，(a－b)a2≤0，所以前者是后者的充分不必要条件． (3)原命题为假命题，则其否定为真命题， 即∀x∈R，有2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立． ∴Δ＝(a－1)2－4×2×＜0. ∴(a－1)2＜4，∴－1＜a＜3. 【答案】　(1)D　(2)充分不必要　(3)B 1．已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围． 2．对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． 考点三　不等式 主要考查利用不等式的性质判断不等式的成立，利用基本不等式求函数最值，同时可与其他知识交汇融合． 　(1)下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是(　　) A. a＞b＋1 B. a＞b－1 C. a2＞b2 D. a3＞b3 (2)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0； ②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0； ③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0. 其中正确命题的个数是(　　) A. 0　　　 B. 1　　　　 C. 2　　　 D. 3 (3)若正实数a，b满足2a＋b－1＝0，则＋的最小值为________． 【解析】　(1)A项，a＞b＋1⇒a＞b，但a＞ba＞b＋1，错误； B项，a＞b⇒a＞b－1，但a＞b－1a＞b，错误； C项，a2＞b2⇒|a|＞|b|a＞b，且a＞ba2＞b2，错误； D项，因为由题意有a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2)＞0，而当a≠b时a2＋ab＋b2＞0恒成立，所以有a＞b； 反之，由a＞b可得a3＞b3，正确． (2)∵ab＞0，bc－ad＞0， ∴－＝＞0，∴①正确； ∵ab＞0，又－＞0，即＞0， ∴bc－ad＞0，∴②正确； ∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0， ∴ab＞0，∴③正确．故选D. (3)＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2 ＋3.(当且仅当＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝ －1时，等号成立)． 【答案】　(1)D　(2)D　(3)2 ＋3 1．正确理解不等式性质的应用条件，并注意不等关系的推出方向，是可逆的还是不可逆的． 2．应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相