第一章 4.3 一元二次不等式的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．3　一元二次不等式的应用 　分式不等式的解法 已知函数y1，y2： 1.>0(<0)⇔y1·y2>0(<0)； 2.≥0(≤0)⇔ 　一元二次不等式恒成立问题 　一元二次不等式恒成立中的常用结论 结论1：若y＝ax2＋bx＋c>0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或或 若在{x|x≤m}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或 若在{x|x≥n}上恒成立⇒Δ＝b2－4ac<0或 结论2：y＝ax2＋bx＋c<0(a>0)在{x|m≤x≤n}上恒成立⇒ [小组探究] 1．不等式<1的解集是(　　) A. {x|x>1} B. {x|－1<x<2} C. D. 解析：原不等式等价于－1<0⇔<0⇔(x＋1)(1－2x)<0⇔(2x－1)(x＋1)>0，解得x<－1或x>. 答案：C 2．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是(　　) A. {a|0<a<4}　　　　 B. {a|0≤a<4} C. {a|0<a≤4} D. {a|0≤a≤4} 解析：a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}，故选D. 答案：D 3．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈{x|0<x≤1}恒成立，则m的最大值为(　　) A. 1 B. －1 C. －3 D. 3 解析：x2－4x－m在{x|0<x≤1}上随着x的增大而减小，最小值为1－4－m，∴令－3－m≥0，∴m≤－3，∴mmax＝－3. 答案：C [互动探究] 　简单分式不等式的解法 　解下列不等式． (1)<0； (2)≤1. 【解】　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， 所以原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)因为≤1，所以－1≤0， 所以≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4， 所以原不等式的解集为. 分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型>0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可以． 1．解下列不等式． (1)≥0；(2)<3. 解：(1)根据商的符号法则，不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可变形为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 　一元二次不等式的恒成立问题 角度1　在R上恒成立 　若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A. (－3，0]　　　　　　　 B. [－3，0) C. [－3，0] D. (－3，0) 【解析】　当k＝0时，－<0恒成立． 当 ∴－3<k<0. 综上，－3<k≤0，故选A. 【答案】　A 角度2　在给定区间上恒成立 　设二次函数y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，y≥2恒成立，则实数a的取值范围为________． 【解析】　要使y≥2在－2≤x≤2时恒成立，即当－2≤x≤2时，y的最小值ymin≥2. ①如图(1)所示，若对称轴即直线x＝－在直线x＝－2的左侧，则当－2≤x≤2时，f(x)随x的增大而增大， 此时，问题等价于 即无解． 图(1)　　　　图(2)　　　　图(3) ②如图(2)所示，若对称轴即直线x＝－在直线x＝－2非左侧且在直线x＝2非右侧， 则当－2≤x≤2时，y随x的增大先减后增， 于是问题等价于 即 ∴－4≤a≤2－2. ③如图(3)所示，若对称轴即直线x＝－在直线x＝2的右侧，则当－2≤x≤2时，y随x的增大而减小， 于是问题等价于即 ∴－5≤a<－4. 综上所述，实数a的取值范围是{a|－5≤a≤2－2}． 【答案】　{a|－5≤a≤2－2} 一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ (2)在给定区间上的恒成立问题 ①a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 2．若对x∈{x|－3≤x≤－1}上恒有x2－ax－3<0成立，则a的取值范围是________． 解析：要使x2－ax－3<0在x∈{x|－3≤x≤－1}上恒成立， 则必使函数y＝x2－ax－3在x∈{x|－3≤x≤－1}上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向