第一章 3.2 第一课时 基本不等式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

3．2　基本不等式 第一课时　基本不等式 　基本不等式 问题：“对∀x、y∈R，(x－y)2≥0总是成立”与“≥xy，当且仅当x＝y，等号成立”，有什么关系？ 结论：定义：(1)设a，b∈R＋，≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式称为基本不等式， 其中，称为a，b的算术平均值， 称为a，b的几何平均值．因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． (2)推广：当a＞0，b＞0时有 ≥≥ ≥. [小组探究] 1．下列不等式中，正确的是(　　) A. a＋≥4　　　　　 B. a2＋b2≥4ab C. ≥ D. x2＋≥2 解析：若a<0，则a＋≥4不成立，故A错；若a＝1，b＝1，则a2＋b2<4ab，故B错；若a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确． 答案：D 2．若x>0，y>0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A. > B. ＋≥1 C. ≥2 D. ≥1 解析：由x＋y＝4，得＝1，所以＋＝(x＋y)(＋)＝(2＋＋)≥×(2＋2)＝1，当且仅当x＝y＝2时，等号成立． 答案：B [互动探究] 　对基本不等式的理解 　(1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A. a<b<< B. a<<<b C. a<<b< D. <a<<b (2)给出下面推导过程： ①因为a，b>0，所以＋≥2＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4； ③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A. ①②　　　　　　　　 B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【解析】　(1)法一：因为b>a>0， 所以>，2b>b＋a，所以b>，<，所以a<. 所以a<<<b. 法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5， 所以a<<<b. (2)①因为a>0，b>0，所以>0，>0，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②因为a∈R，不符合基本不等式的条件， 所以＋a≥2＝4是错误的； ③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将全体＋提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． 【答案】　(1)B　(2)B 基本不等式的理解 基本不等式的结构体现了“和式”与“积式”的相互转化，当题目中不等号的两端一端是“和式”而另一端是“积式”时，就要考虑利用基本不等式来解决，在应用过程中注意“一正、二定、三相等”． 1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A. a2＋b2>2ab B. a＋b≥2 C. ＋> D. ＋≥2 解析：由基本不等式知，只有D选项正确． 答案：D 　利用基本不等式比较大小 　已知0<a<1，0<b<1，则a＋b，2，a2＋b2，2ab中哪一个最大？ 【解】　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2， a2＋b2≥2ab， 所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2. 又因为0<a<1，0<b<1， 所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b ＝a(a－1)＋b(b－1)<0， 所以a2＋b2<a＋b，所以a＋b最大． 利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小，达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向． 2．已知m＝a＋(a>2)，n＝22－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A. m>n B. m<n C. m＝n D. 不确定 解析：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，所以m≥2＋2＝4，当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．由b≠0，得b2>0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n. 答案：A 　利用基本不等式证明不等式 　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9. 【证明】　因为a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立， 所以＋＋≥9. 利用基本不等式证明不等式的关键点 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或将积式转化为和式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到． 3．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c. 证明：因为a>0，b>0，c>0， 所以＋≥2＝2c，＋≥2＝2a， ＋≥2＝2b， 又a，b，c不全相等，所以上述不等式中至少有一个等号不成立． 所以＋＋>a＋b＋c. 　不等式a2＋b2≥2ab与≥ 的比较 (1)两个不等式