第一章 3.2 第二课时 基本不等式的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　基本不等式的应用 　利用基本不等式求最值问题 　当x，y均为正数时，下面的命题均成立： (1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时， xy取得最大值； (2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2_. [小组探究] 1．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(　　) A. 10　　 B. 25　　 　 C. 5　　 D. 2 解析：a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案：D 2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　) A. 100 B. 50 C. 20 D. 10 解析：由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，当且仅当m＝n＝±5时等号成立．故选B. 答案：B 3．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　) A. 3 B. 3－2 C. 3－2 D. －1 解析：y＝3－3x－＝3－(3x＋)≤3－2 ＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号． 答案：C [互动探究] 　利用基本不等式求最值 角度1　和为定值求最值 　已知x，y是正实数，且2x＋5y＝20. (1)求xy的最大值； (2)求＋的最小值． 【解】　(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得≥＝. ∵2x＋5y＝20， ∴≤10，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立． 由解得 ∴xy的最大值为10. (2)∵x>0，y>0， ∴＋＝(＋)·＝(7＋＋)≥(7＋2)＝， 当且仅当＝时，等号成立． 由解得 ∴＋的最小值为. 当已知两数的和为定值时，求积的最值．可直接利用基本不等式或者经过适当的拆项和添项变形转化为和为定值；求“和”的最值可利用“1”的代换，乘积展开后使用基本不等式． 1．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为(　　) A. 　　　 B. 1　　　　 C. 2　　　 D. 4 解析：∵a>0，b>0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2， 即ab≤，当且仅当a＝1，b＝时等号成立． 答案：A 角度2　已知积为定值求最值 　(1)(x>1)的最小值为________． (2)函数f(x)＝的最大值为(　　) A. B. C. D. 1 【解析】　(1)令y＝， 则y＝＝x＋1＋＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8， 当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立． 故(x>1)的最小值为8. (2)令t＝(t≥0)，则x＝t2， ∴f(x)＝变形为f(t)＝. 当t＝0时，f(t)＝0； 当t>0时，f(t)＝＝. ∵t＋≥2，当且仅当t＝＝1，即t＝1时等号成立，∴0<≤. ∴f(x)的最大值为. 【答案】　(1)8　(2)B 求和或积的定值经常利用的适当变形 (1)拆——裂项拆项 裂项是指对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和．再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． (2)配凑——配式配系数，凑出定值 有时为了挖掘出积或和为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式配系数的方法，使配好的代换式与待求值式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． (3)平方——将原式先平方运算 对于含有根式、绝对值等可以先平方，使之符合基本不等式条件． (4)换元——取倒数 当分式中分子的“次数”小于分母的“次数”，可以将“分子”除以在分母上． 2．已知x>－1，求y＝的最小值． 解：∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y＝＝＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立， ∴当x＝1时，函数y＝(x>－1)取得最小值9. 　基本不等式的实际应用 　为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． 【解】　(1)由于C(x)＝(0≤x≤10)， 当x＝0时，C(x)＝8(万元) ∴8＝，∴k＝40，∴C(x)＝， ∴f(x)＝6x＋×20＝6x＋(0≤x≤10)． (2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10， 设3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则y＝2t＋－10≥2－10＝70，当且仅当2t＝，即t＝20时，等号成立．这时x＝5，因此f(x)的最小值为70，即隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小