第一章 3.1 不等式的性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　不等式 3．1　不等式的性质 　不等式的性质 现象：如果用x m2和y m2分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积，则比值越大，住宅的采光条件越好．不等式＜ 表示的是：当同时增加相等的窗户面积l m2和地板面积l m2时，住宅的采光条件会得到改善． 结论：1.实数大小顺序与实数运算之间的关系 如果a－b是正数，那么a＞b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也成立．这个基本事实可以表示为： (1)a＞b⇔a－b＞0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a＜b⇔a－b＜0． 2．不等式的性质 性质1　如果a＞b，且b＞c，那么a＞c． 性质2　如果a＞b，那么a＋c＞b＋c. 性质3　如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc. 性质4　如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d. 性质5　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac＜bd. 特殊地，当a＞b＞0时，an＞bn，其中n∈N＋，n≥2. 性质6　当a>b>0时，>，其中n∈N＋，n≥2. [小组探究] 1．比较x2－4x与－4的大小． 答案：x2－4x≥－4 2．用“＞”或“＜”填空 (1)x＋3________y＋3(x＜y)； (2)ma________mb(a＜b，m＜0)； (3)m3________n3(m＞n＞0)． 答案：(1)＜　(2)＞　(3)＞ [互动探究] 　比较两个数(式)的大小 　比较下列各组中两个代数式的大小． (1)x3＋与1－x＋x2.x∈[0，1]． (2)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)与(x2－x＋1)(x2＋x＋1)． 【解】　(1)x3＋－(1－x＋x2) ＝x3＋－ ＝x3＋－＝x3－＝≥0 ∴x3＋≥1－x＋x2. (2)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)－(x2－x＋1)·(x2＋x＋1)＝[(x2＋1)2－2x2]－[(x2＋1)2－x2]＝－x2，∵－x2≤0，∴(x2－x＋1)(x2＋x＋1)≤(x2－x＋1)(x2＋x＋1)． 比较两个数式大小的方法 (1)作差法 判断a－b的符号，从而得到a与b的大小关系．“作差法”的一般步骤：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论． (2)为了便于判断符号，变形时其结果尽量为积(或商)的形式，或“完全平方＋正数”的形式． 1．比较下列各组中两个代数式的大小． (1)3m2－m＋1与2m2＋m－3； (2)＋与a＋b(a＞0，b＞0)． 解：(1)∵(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3) ＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3＞0， ∴3m2－m＋1＞2m2＋m－3. (2)－(a＋b)＝ ＝ ＝ ＝＝. ∵a＞0，b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0. ∴＋≥a＋b. 　利用不等式性质判断不等关系 　若a＞0＞b＞－a；c＜d＜0，则下列命题：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是(　　) A. 1　　　 B. 2　　　　 C. 3　　　 D. 4 【解析】　①∵a＞0＞b，c＜d＜0， ∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，∴①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)， ∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0， ∴②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d， ∴③正确． ∵a＞b，d－c＞0， ∴a(d－c)＞b(d－c)， ∴④正确，故选C. 【答案】　C 1．利用不等式性质比较大小，一定要弄清参数的符号，明确什么情况下不等号方向改变． 2．注意已知条件与所判断的不等式的形式上的关系． 2．(多选题)下列选项中能推出＜成立的有(　　) A. b＞0＞a　　　　　 B. 0＞a＞b C. a＞0＞b D. a＞b＞0 解析：＜成立，即＜0成立，逐个验证可得，ABD满足题意． 答案：ABD 　证明不等式 　试证明：若a＞b＞0，m＞0，则＜. 【证明】　－＝＝， ∵a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，＜0. ∴＜. 证明不等式一般采用作差法．即求左－右(或右－左)的正负． 3．已知a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 证明：a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a) ＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，(a－b)2≥0， ∴(a－b)2(a＋b)≥0， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2. 　不等式的开方性质 由不等式性质a＞b＞0⇒an＞bn.(n∈N，n≥2)，可以得出类似性质，a＞b＞0⇒ ＞ (n∈N，n≥2)，即当不