第一章 2.1 第一课时 必要条件与充分条件-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§2　常用逻辑用语 2．1　必要条件与充分条件 第一课时　必要条件与充分条件 　必要条件 现象：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等． 即如果两个三角形的对应角不相等，那么这两个三角形一定不全等． 结论：定义：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的． 如上述现象中，两个三角形对应角相等是这两个三角形全等的必要条件． 上述定义可简记为若p⇒q，则q是p的必要条件． 　充分条件 现象：若a＜0，b＜0，则ab＞0. 即如果有了条件“a＜0，b＜0”就一定有“ab＞0”，但使“ab＞0”的条件不一定非“a＜0，b＜0”不可． 结论：定义：一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称p是q的充分条件．即p⇒q时，p是q的充分条件． 综上，对于真命题“若p，则q”，即p⇒q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件． [小组探究] 1．俗语云：“好人有好报．”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的(　　) A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 无法判断 解析：这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好人”是“有好报”的充分条件．故选A. 答案：A 2．判断下列各题中，p是否是q的充分条件，q是否是p的必要条件： (1)p：x∈Z，q：x∈R； (2)p：x是矩形，q：x是正方形． 解：(1)因为整数都是有理数，从而一定也是实数，即p⇒q，因此p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)因为矩形不一定是正方形，即pq，因此p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． [互动探究] 　必要条件的判断 　指出下列哪些命题中p是q的必要条件？ (1)在△ABC中，p：AC>AB，q：∠B>∠C； (2)已知x，y∈R，p：(x－1)(x－2)＝0，q：x＝1. 【解】　(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的必要条件． (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的必要条件． 故(1)(2)命题中p是q的必要条件． 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件． 1．给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件． 解：(1)因为两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要条件但不是充分条件． (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以qp．所以p是q的充分条件但不是必要条件． (3)因为p⇒q且q⇒p，所以p既是q的充分条件，又是q的必要条件． (4)因为pq且qp，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 　充分条件的判断 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若a∈Q，则a∈R； (2)若a<b，则<1； (3)若x>1，则x2>1； (4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3； (5)在△ABC中，若A>B，则BC>AC； (6)已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 【解】　(1)由于QR，所以p⇒q， 所以p是q的充分条件． (2)由于a<b，当b<0时，>1；当b>0时，<1， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (4)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3， 因此pq，所以p不是q的充分条件． (5)由三角形中大角对大边可知，若A>B，则BC>AC. 因此p⇒q，所以p是q的充分条件． (6)因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q， 所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 (2)命题判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 2．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB； (2)若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； (3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方． 解：(1)由线段垂直平分线的性质知，p⇒q，p是q的充分条件． (2)三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角