第1章 2.1 第1课时 必要条件与充分条件（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（北师大版）

§2　常用逻辑用语 §2.1　必要条件与充分条件 第1课时　必要条件与充分条件 学习目标 素养要求 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系． 3.结合具体命题，掌握判断充分条件、必要条件的方法． 1.通过必要条件与充分条件的学习，培养数学抽象的核心素养． 2.借助充分条件与必要条件的应用，提升逻辑推理的核心素养． [自主梳理] 知识点　充分条件与必要条件 [问题1]　观察命题： (1)若整数a是素数，则a是奇数； (2)若两个三角形全等，则它们的面积相等． 上述命题的形式是怎样的？ 答：“若……，则……”的形式． [问题2]　在命题“若两个三角形全等，则它们的面积相等”中条件和结论分别是什么？ 答：条件是两个三角形全等；结论是两个三角形面积相等． [问题3]　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 答：不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2<x<3”等． [问题4]　如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”？ 答：“充分”即条件充分，有充足的理由；“必要”即必须要有，缺之不可． ►知识填空 充分条件与必要条件 命题真假 若“p，则q” 为真命题 若“p，则q” 为假命题 推出关系 p⇒q 续表 条件关系 q是p的必要条件 p是q的充分条件， q不是p的必要条件． p不是q的充分条件， 定理关系 判定定理给出了结论成立的充分条件，性质定理给出了结论成立的必要条件． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果p是q的充分条件，则p是唯一的．(　　) (2)“x＝3”是“x2＝9”的必要条件．(　　) (3)“x＞0”是“x＞1”的充分条件．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．使x＞5成立的一个充分条件是(　　) A．x＞6　　　　　　　　　B．x＞0 C．x＞3 D．x＜3 答案：A 3．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 解析：选A　∵a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0， ∴a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件． 4．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件． 答案：必要 题型一　充分条件的判断 [例 1]　(1)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是(　　) A．x＞3　　　　　　　　B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若a∈Q，则a∈R. ②若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3. ③在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC. ④已知a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0. 解析：(1)选C　因为x＞4⇒x＞3.14，所以x＞3.14的一个充分条件是x＞4. (2)①由于QR，所以p⇒q. 所以p是q的充分条件． ②由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3.因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． ③由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC.因此p⇒q，所以p是q的充分条件． ④因为a，b∈R，所以a2≥0，b2≥0， 由a2＋b2＝0，可推出a＝b＝0，即p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的两种判断方法 (1)定义法： 　　 (2)命题判断方法： 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若ab＞0，则a＞0，b＞0. (2)若两个三角形相似，则两个三角形全等． (3)若x为无理数，则x2为无理数． (4)若x＝1，则x2－4x＋3＝0. 解析：(1)ab＞0⇒a＞0，b＞0或a＜0，b＜0⇒/ a＞0，b＞0，因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (2)因为两个三角形相似不一定全等． 因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (3)若x为无理数，则x2不一定为无理数．例如为无理数，则()2＝2不为无理数：因此p⇒/ q，所以p不是q的充分条件． (4)因为x＝1⇒x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)＝0，所以x＝1是x2－4x＋3＝0的充分条件，所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 题型二　必要条件的判断 [例 2]　在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x＞2且y＞3，q：x＋y＞5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 解析：(1)由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件． (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可以利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”．条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件．　　 　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若a＋5是无理数，则a是无理数． (2)若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等． (3)若(x－a)(x－b)＝0，则x＝a. (4)若a和b都是偶数，则ab是偶数． 解析：(1)若a＋5是无理数，则a＋5是无限不循环小数，所以a是无限不循环小数，所以a是无理数，所以p⇒q，所以q是p的必要条件． (2)全等三角形面积相等，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件． (3)若(x－a) (x－b) ＝0，则x＝a或x＝b，所以p⇒/ q，所以q不是p的必要条件． (4)因为两个偶数的乘积仍是偶数． 所以p⇒q，所以q是p的必要条件． 题型三　充分条件与必要条件的应用 [例 3]　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 解：由p：3a＜x＜a， 即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3， 即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a＜0， 所以a的取值范围是. 　 充分条件与必要条件的应用及求解步骤 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　 1．若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为________． 解析：因为A是B的充分条件， 所以A⊆B， 又A＝{x|a＜x＜a＋2}， B＝{x|x＜－1或x＞3}． 因此a＋2≤－1或a≥3， 所以实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞). 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 2．(变条件)将本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围． 解析：p：a＜x＜3a， 即集合A＝{x|a＜x＜3a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为q⇒p，所以B⊆A， 所以 [课堂小结] 充分条件与必要条件的判断方法 1．定义法 用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛． 2．集合法 从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分条件但不是必要条件． (2)若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要条件但不是充分条件． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$