第一章 2.1 第二课时 充要条件-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　充要条件 　充要条件 现象：若一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形为平行四边形． 即四边形对角线互相平分⇒四边形为平行四边形． 反之，四边形对角线互相平分⇐四边形为平行四边形． 结论：定义：一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． 当p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q等价”． [小组探究] 1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：A 2．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(　　) A. x<0，y<0　　　 B. x<0，y>0 C. x>0，y>0 D. x>0，y<0 解析：第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数． 答案：B 3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则A⊆B的充要条件是________． 解析：当a＝2时，A⊆B；当a＝3时，A⊆B. 答案：a＝2或a＝3 [互动探究] 　充要条件的判定 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：x＝1，q：x－1＝； (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【解】　(1)当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. ∴p是q的充分不必要条件． (2)∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件． (3)由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件． (4)0是自然数，但0不是正数，故pq；又是正数，但不是自然数，故qp．故p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件的判断方法 利用定义判断 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 从集合的角度判断 利用集合中包含思想判定，即可解决充分必要性的问题 1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)． (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 解：(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件． 　充要条件的证明 　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 【证明】　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴Δ＝b2－4ac>0，且x1x2＝<0，∴ac<0. 充分性：由ac<0可推出Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0， ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根．综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数且a≠0)有一正实根一负实根的充要条件是ac<0. 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 2．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点． ②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点， 所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0. 综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. 　充分条件、必要条件、充要条件的应用 　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解】　p：－2≤x≤10， q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m>0， 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． 3．若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 设p代表的集合为A，q代表