第一章 1.2 集合的基本关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

1．2　集合的基本关系 　子集 背景：设某校高一(1)班全体45位同学组成集合P，其中女同学组成集合M，则有：若a∈M，则a∈P. 结论：(1)定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若a∈A，则a∈B，那么称集合A是集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 如上面的背景中，M⊆P. (2)性质：①任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. ②规定：空集是任何集合的子集．也就是说，对于任意一个集合A，都有∅⊆A. ③当集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)时，记作AB(或B⊉A)． 　Venn图 背景：在一个纸盒里装有1，2，3，4四个数字，如果这个纸盒看作一个集合A，则形象地表示为. 结论：定义：为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． 如上述的M与P表示为. 　集合相等 问题：集合A＝{x|(x－7)(x＋5)＝0}与B＝{－5，7}有包含关系吗？ 结论：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作 A＝B. 可用Venn图表示． 即对于两个集合A与B，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 　真子集 问题：在知识点1的背景中，M与P相等吗？ 结论：(1)定义：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)． 可用Venn图表示． (2)性质：①对于集合A、B、C，如果AB且BC，则AC(传递性)． ②空集是任何非空集合的真子集，即∅A，则A≠∅，反之成立． [小组探究] 1．集合N＋、N、Q、Z、R之间的关系怎样？ 答案：N＋NZQR 2．空集的子集有哪些？ 答案：空集只有一个子集，即它本身∅. 3．集合{0}有几个子集？几个真子集？ 答案：子集有∅，{0}．真子集为∅，故集合{0}有2个子集，1个真子集． [互动探究] 　写集合的子集及其真子集 　(1)写出集合{a、b、c、d}的所有子集． (2)已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况． 【解】　(1)∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}． (2)因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M， 又因为M⊆{1，2，3，4，5}， 所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集， 故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个． 1．写集合的子集时，按元素由少到多逐次写．不含元素的∅，含有1个元素的；含有2个元素的；一直到写完所有元素． 2．当元素个数为n时，有如下结论： (1)含有n个元素的集合有2n个子集； (2)含有n个元素的集合有(2n－1)个真子集； (3)含有n个元素的集合有(2n－1)个非空子集； (4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 1．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A. 2　　　　　　　　 B. 4 C. 6 D. 8 解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个． 答案：B 　判断集合间的关系 　已知A＝{x|x＝＋，k∈Z}，B＝{x|x＝＋，k∈Z}，判断A与B的关系并证明． 【解】　当k＝0，1，2，3时，＋＝，，，， ＋＝，，，. 猜想AB. 下面用定义证明． (1)若a∈A，则存在k0∈Z，使a＝＋，而＋＝＋，且2k0－1∈Z，∴a∈B，即A⊆B. (2)由上知1∈B，令1＝＋，解得k＝Z，即1A. 综上知AB. 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴和直角坐标平面等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．