第一章 1.1 集合的概念与表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　集合 1．1　集合的概念与表示 　集合与元素的含义 背景：军训时，教官喊：高一(1)班的全体同学集合． 探究：此处的“集合”是什么词？“集合”的结果怎样？ 提示：此处“集合”是动词，其作用是把高一(1)班的全体同学集结在一起，形成集体． 结论：(1)一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写英文字母A，B，C，…表示．集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示． 如高一(1)班的全体同学，形成一个集合，班里的每个同学都是元素． (2)一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了．如果元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作a∈A；如果元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作aA. 　常用的数集及其记法 数的集合简称数集，下面是一些常用数集及其记法： 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋或N* Z Q R R＋ 　集合的表示方法——列举法 背景：你班的小明、小亮两位同学是今天的卫生检查员，他们俩组成一个集合． 探究：如何表示这个集合？ 提示：用列举法．如{小明，小亮}． 结论：(1)列举法是把集合中的元素一一列举出来写在花括号内表示集合的方法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}． (2)元素的三个特性 ①确定性：一个集合确定，其中的元素是确定的． ②互异性：集合中的元素互不相同． ③无序性：用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同． 　集合的表示方法——描述法 背景：函数y＝2x图象上的点，可组成一个集合． 探究：能列举出所有点吗？ 结论：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件}，即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征． 上述的集合表示为{(x，y)|y＝2x，x∈R}． 　集合的分类 背景：你班的全体同学组成集合A，函数y＝2x图象上的点组成集合E，方程x2＋2＝0的实数根组成集合B. 探究：A中元素可数吗？B中有多少个元素？E中有多少个元素？ 结论：含有有限个元素的集合叫作有限集，如A. 含有无限个元素的集合叫作无限集，如E. 不含任何元素的集合叫作空集，记作∅，如B. 　区间符号及表示 　设a，b是两个实数，且a＜b，则集合{x|a≤x≤b}用符号表示为[a，b]．通常，闭区间、开区间、半开半闭区间统称为区间．[a，b]称为闭区间，(a，b)，(a，＋∞)，(－∞，b)称为开区间，[a，b)，(a，b]，[a，＋∞)，(－∞，b]称为半开半闭区间．在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点． 符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 常见的集合、区间及数轴表示． 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a＜x＜b} (a，b) {x|a≤x＜b} [a，b) {x|a＜x≤b} (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x＞a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x＜b} (－∞，b) 实数集R (－∞，＋∞) [小组探究] 1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　) A. 一切很大的数 B. 好心人 C. 漂亮的小女孩 D. 方程x2－1＝0的实数根 答案：D 2．(教材练习改编)用∈或填空： 0______N，　0______N＋，　－1______N， －1______Z，3.14______Q，　π______Z， π________Q，　π________R. 答案： 3．(教材例1改编)由不小于3且小于10的所有偶数组成的集合表示为________． 答案：{4，6，8} 4．(教材精选)平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合为________． 答案：{M∈α||MO|＝r} [互动探究] 　元素的三个特性的应用 　已知集合A＝{a－3，2a－1，a2＋1}，集合B＝{0，1，x}． (1)若－3∈A，求a的值； (2)若x2∈B，求实数x的值． 【解】　(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3， 当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求． ∴a＝0或－1. (2)当x＝0，1，－1时，都有x2∈B， 但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1， 故x＝－1. 【探究】　在本例中，是否存在实数a，x，使A＝B. 解：显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性