第五章 函数应用 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 考点一　函数的零点与方程的根 　(1)函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的大致区间是(　　) A. (－2，－1)　　　　　　 B. (－1，0) C. D. (2)已知函数f(x)＝ln x－的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4) (3)函数y＝－m有两个零点，则m的取值范围是________． 【解析】　(1)∵f(－2)＝e－2＋4×(－2)－3＝－11＋<0，f(－1)＝e－1＋4×(－1)－3＝－7＋<0，f(0)＝e0－3＝－2<0，f＝e＋4×－3＝－1>0，f(1)＝e1＋4×1－3＝e＋1>0. ∴f(0)·f()<0 ∴f(x)＝ex＋4x－3的零点的大致区间为. (2)∵f(x)＝ln x－在(0，＋∞)是增函数， 又f(1)＝ln 1－＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－＜0， f(3)＝ln 3－＞0， ∴x0∈(2，3)． (3)在同一直角坐标系内，画出y1＝和y2＝m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m＜1. 【答案】　(1)C　(2)C　(3)(0，1) 函数的零点及判断个数的方法 (1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的联系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断，二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断． 提醒：函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标． 考点二　一元二次方程根的分布问题 　设集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0}，B＝{(x，y)|y＝x＋1，0≤x≤2}，A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 【解】　由条件A∩B≠∅，方程x2＋mx－y＋2＝0与方程x－y＋1＝0(0≤x≤2)有公共解． 由方程组消去y得， x2＋(m－1)x＋1＝0，(*) 故方程(*)在区间[0，2]上有实数根． 令f(x)＝x2＋(m－1)x＋1， 即为函数f(x)的图象与x轴在[0，2]内有交点，因为f(0)＝1，所以： (1)若在[0，2]上只有一个交点，则有f(2)<0⇒m<－ 或⇒m＝－1. (2)若在[0，2]上有两个交点，则有 ⇒－≤m<－1. 由(1)(2)知，m≤－1.解得m≤－1. 研究一元二次方程的根的分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： (1)一元二次方程根的判别式． (2)对应二次函数区间端点函数值的正负． (3)对应二次函数图象——抛物线的对称轴x＝－与区间端点的位置关系． 考点三　函数模型及应用 　某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示： 第t天 4 10 16 22 Q/万股 36 30 24 18 (1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式； (3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少． 【解】　(1)P＝(t∈N＋)． (2)设Q＝at＋b(a，b为常数)， 把(4，36)，(10，30)代入得 所以a＝－1，b＝40， 所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40，0＜t≤30，t∈N＋. (3)由(1)(2)可得 y＝ 即y＝(t∈N＋)． 当0＜t≤20时，y有最大值ymax＝125万元， 此时t＝15； 当20＜t≤30时，y随t的增大而减少，y＜(20－60)2－40＝120(万元)． 所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元． 建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤 (1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x，y分别表示． (2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$