第五章 2.2 用函数模型解决实际问题(课件)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　 用函数模型解决实际问题 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 用函数模型解决实际问题 问题：某星级旅馆有150间标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下： 欲使每天的营业额最高，应如何定价？ 独立思考 自主学习 知识点 定价(元/间) 住房率 160 55% 140 65% 120 75% 100 85% 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 结论：数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决．用图表示数学建模的过程： 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 合作交流 探究学习 [小组探究] 1．在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？ (1)在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？ (2)在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ 解：(1)可选择指数函数模型． (2)二次函数模型． 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 2．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施． 方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元； 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费． (1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明． (2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？ 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 解：设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1＝(50－25)x－2×0.5x－30 000＝24x－30 000， y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x. (1)当x＝3 000时，y1＝42 000，y2＝54 000. 因为y1＜y2，故应选择第2个方案处理污水． (2)当x＝6 000时，y1＝114 000元，y2＝108 000元． 因为y1＞y2，故应选择第1个方案处理污水． 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 二次函数模型的应用 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)． (1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值． 例 典 1 类型 1 [互动探究] 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题． 方法 总结 * 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 1．有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值． 即学即用 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 1 独立思考 自主学习 课时规范训练 合作交流 探究学习 指数函数模型的应用 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 例 典 2