专题2-3 焦点弦和焦半径公式在高考中的应用-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题2-3 焦点弦和焦半径公式在高考中的应用 每当谈到高中数学的学习，我们总是避不开这样一个话题，教材上没有、高考要考，而且是有效的解题利器，那就是——二级结论。 比如说2022年全国一卷第16题，硬做当然可以做出来，但是不仅容易翻车而且很耗时间，就算真算对了，在考场上又有几人有魄力相信的答案呢？ 不过，必须指出的是二级结论要想在考场上玩的转，必须熟练掌握，注意是必须，光知道是不够的。 有人认为只要知道它在那里，可以考场上推一次再用，然而以某人某段时间的悲惨经历可以告诉大家：“你，想多了”。 因为现推耗时耗力不说，在考场上大部分人是推不出的。 其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级结论的推导需要极其巧妙的手法，在高度紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。 再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练呢？ 怎么会用？ 从实际操作的角度来讲，我们必须记忆。 记得我们高中数学老师第一节课就曾说过：“数学好的第一个必要条件就是记忆力好”。 当然，不是指死记硬背，更不是指不要死记硬背。 某些同学曾经陷入过一个误区，认为只要理解就可以记住或者只要在刷题中巩固就可以熟练掌握。 这其实是矫枉过正，我们过度重视了理解与实践，而在最基本的层面上一些机械性的成分其实必不可少，因为机械记忆是所谓一切种种的根基所在。 真的，各位千万不要忽略记忆的重要性，某些同学深受其害，到高三才意识到事情的严重性。 因为，如果你不先记住，怎么在刷题中想到去应用去实践？ 而且理解了也不代表掌握，功利地讲，在考场上如果不能直接运用结论，理解其实也没什么用。 不过话说回来，我并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，千万不要忽视。 目录 题型一 椭圆焦半径最值 6 2023·深圳市一模 6 2023届·温州市第一次适应性考试（11月） 6 题型二 抛物线焦点弦与焦半径公式 7 2023届·湖南师范大学附属中学高三上学期第一次月考 7 2023届·佛山二模第11题—无坐标系，焦半径公式与交点弦公式 8 题型三 椭圆焦点弦公式与焦半径公式 11 2023浙江绍兴二模T16——椭圆的中的对称 11 2023·浙江嘉兴二模 12 题型四 双曲线焦点弦与焦半径公式 15 2023届·湖南雅礼中学高三月考T16 15 2023届·山东省新高考3月联合质量测评 16 2023届·青岛三模T8——2个二级结论 16 题型五 焦点弦被焦点分成定比 17 2024届·浙江省Z20名校联盟高三上学期第一次联考T16 17 2024届·长郡中学月考（三）T15 18 椭圆焦半径与焦点弦夹角公式 焦半径长公式：（长），（短）， 证明：在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理，在中，由余弦定理得， 将代入化简得： 则 焦点弦被焦点分成定比：若，则 （注：抛物线默认e=1） 简证： 交叉相乘得： 双曲线焦半径与焦点弦夹角公式 已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦 情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α 【答案】情况1： 在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理可得：，则. 情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β 【答案】情况2： 在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理可得：，则. 抛物线焦半径公式：抛物线焦半径与焦点弦公式相信同学们都比较熟悉，这里就不证明了 记抛物线，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，直线AB与x轴夹角为 焦半径（短）：；焦半径（长）：；， 2022年新高考I卷第16题 已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【解析】易知为等边三角形， 的周长为 【法一】：焦点弦公式 【法二】：通性通法 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 重点题型·归类精讲 题型一 椭圆焦半径最值 2023·深圳市一模 1． 若椭圆上的点到焦点距离