第四章 3.2 半角公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　二倍角的三角函数公式 3．1　二倍角公式 3．2　半角公式 [素养目标]　1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．　2.能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．　3.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、求值．　4.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．　5.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　二倍角公式的应用 [基础梳理] 1．二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α(S2α) . (2)cos 2α＝cos2 α－sin2 α＝2cos2 α－1＝1－2sin2 α(C2α)． (3)tan 2α＝(T2α)． 2．二倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α＝cos2 α－sin2 α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． (2)配方变换 1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α ＝(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换 1＋cos 2α＝2cos2 α，1－cos 2α＝2sin2 α. (4)降幂扩角变换 cos2 α＝(1＋cos 2α)，sin2 α＝(1－cos 2α)， sin αcos α＝sin 2α. [互动探究] 角度1　公式的正用、逆用 　(1)若sin α＝，则cos 2α＝(　　) A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ 解析：B　cos 2α＝1－2sin2 α＝1－2×＝. (2)sin 10°sin 30°sin 50° sin 70°＝ ． 解析：原式＝cos 80°cos 60°cos 40°cos 20° ＝ ＝＝＝. 答案： (3)计算：＝ ． 解析：原式＝＝＝2. 答案：2 二倍角公式的正用、逆用解题的关键点 (1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式． (2)结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式．　　 角度2　二倍角公式的变形 　化简：(－tan )·. 解：原式＝· ＝·＝·＝2. 关于二倍角公式的变形使用 (1)逆用：如果式子符合或变形后符合逆用的特点，则可以逆用二倍角公式，如sin αcos α，等． (2)变形：常用的二倍角的变形有降幂公式，1±cos 2α等．　　 角度3　条件求值 　(1)已知cos＝，≤α<， 求cos的值． (2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求角α的值． 解：(1)因为≤α＜， 所以≤α＋＜. 因为cos>0， 所以<α＋<. 所以sin＝－ ＝－ ＝－. 所以cos 2α＝sin ＝2sincos＝2××＝－， sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝. 所以cos＝cos 2α－sin 2α＝×＝－. (2)因为sin 2α＝－cos＝－. sin＝－sin＝－cos＝－cos， 所以原方程可化为1－2cos2 ＝－cos，解得cos＝1或cos＝－. 因为α∈， 所以α＋∈， 故α＋＝0或α＋＝， 即α＝－或α＝. 解决条件求值问题的方法 条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化． (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．　　 [跟踪训练] 1．已知sin＝，那么cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：A　∵sin＝cos＝cos(＋α)＝， ∴cos＝cos＝2cos2－1＝－. 2.＝ ． 解析：原式＝× ＝tan 45°＝. 答案： 3.－cos2 ＝ ． 解析：原式＝＝－cos ＝－. 答案：－ 探究点二　半角公式的应用 [基础梳理] 半角公式 (1)sin2 ＝⇒sin ＝± (S)． (2)cos2 ＝⇒cos ＝± (C)． (3)tan2 ＝⇒tan ＝± (T)． (4)tan ＝． (5)tan ＝． 这五个公式，称之为半角公式，符号由所在象限确定． [互动探究] 角度1　给角求值 　求值：(1)sin ＝ ； (2)tan ＝ ． 解析：(1)sin ＝＝＝ ＝. (2)tan ＝＝＝－1. 答案：(1)　(2)－1 角度2　给值求值 　若sin(π－α)＝－且α∈，则sin(＋)等于(　　) A．－　　　　　　 B．－ C． D． 解析：B　∵sin(π－α)＝－， ∴sin α＝－，∵α∈， ∴cos α＝－＝－， ∴sin＝cos ＝－＝－. 利用半角公式求值的思路 (1)