第四章 2.4 积化和差与和差化积公式-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．4　积化和差与和差化积公式 [素养目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差、和差化积公式．　2.能利用积化和差、和差化积公式解决简单的化简、求值问题．　3.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　利用积化和差、和差化积公式化简求值、证明 [基础梳理] 积化和差与和差化积公式 [互动探究] 角度1　化简求值 　(1)用积化和差公式化简求值： ①cos 29°cos 31°－cos 2°； ②cos 37.5°·cos 22.5°. 解：①cos 29°cos 31°－cos 2°＝[cos(29°＋31°)＋cos(29°－31°)]－cos 2°＝cos 60°＋cos (－2°)－cos 2°＝. ②cos 37.5°·cos 22.5°＝(cos 60°＋cos 15°)＝＋cos 15°＝＋cos (45°－30°)＝＋×＝. (2)求sin 42°－cos 12°＋sin 54°的值． 解：sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54° ＝－2cos 60°·sin 18°＋sin 54° ＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°·sin 18° ＝ ＝ ＝ ＝＝＝＝. 角度2　证明恒等式 　在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C． 证明：左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C ＝2sin cos ＋sin 2C ＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)·cos(A＋B) ＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)] ＝2sin C·(－2)sin ·sin ＝4sin Asin Bsin C＝右边．所以原等式成立． 1．套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来． 2．在运用积化和差求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．　　 [跟踪训练] 1.＋＝ ． 解析：原式＝ ＝＝ ＝＝2cos 30°＝. 答案： 2．已知A＋B＋C＝π. 求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin sin cos . 证明：因为左边＝sin(B＋C)＋2sin ·cos ＝2sin cos ＋2sin cos ＝2cos ＝2cos ·2sin cos ＝4sin sin cos ＝右边．所以原等式成立． 探究点二　利用积化和差、和差化积公式解决三角函数性质问题 [互动探究] 　函数f(x)＝sincos的周期是(　　) A．　　 B．π　　 C．2π　　 D．4π 解析：A　f(x)＝{sin＋sin[(2x－)－]} ＝ ＝sin 4x－， ∴f(x)的周期是. 　函数y＝coscos的最大值是 ． 解析：y＝coscos ＝＋ cos}＝ ＝cos 4x－， 所以ymax＝. 答案： 1．利用积化和差、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系． 2．求解三角函数的值域(最值)常见到的类型 ①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin (ωx＋φ)＋c或y＝Acos(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； ②形如y＝asin2 x＋bsin x＋c或y＝acos2 x＋bcos x＋c的三角函数，可先设sin x＝t或cos x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．　　 [跟踪训练] 3．函数y＝cos x＋cos的最大值是 ． 解析：y＝2coscos ＝cos，所以ymax＝. 答案： 4．求函数y＝sincos x的最大值． 解：y＝sincos x ＝ ＝ ＝sin－， 所以ymax＝－＝. 1．sin 37.5°cos 7.5°＝(　　) A．　 B．　 C．　 D． 解析：C　sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)] ＝(sin 45°＋sin 30°) ＝. 2．cos 75°－cos 15°的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：D　cos 75°－cos 15°＝－2sin 45°sin 30°＝－. 3.的值为(　　) A． B． C． D．－ 解析：D　原式＝＝·＝－. 4．cos 152°－cos 32°化为积的形式为 ． 解析：cos 152°－cos 32° ＝－2sin sin ＝－2sin 60°sin 92° ＝－sin 92°.