第四章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

2．2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 [素养目标]　1.能通过两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角和与差的正弦公式．　2.能通过两角和与差的正、余弦公式及同角三角函数的基本关系推导出两角和与差的正切公式．　3.理解两角和与差的正弦、正切公式的结构特征，并能利用公式进行简单的化简、求值．　4.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　两角和与差的正弦公式的应用 [基础梳理] 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦公式 Sα＋β sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的 正弦公式 Sα－β sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β α，β∈R [互动探究] 角度1　给角求值 　(1)若在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是(　　) A．　　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析：A　在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，所以AB＝5，所以sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝. (2)计算：＝ ． 解析：原式＝ ＝ ＝＝＝ ＝＝2－. 答案：2－ 正确利用两角和与差正余弦公式解决给角求值问题 (1)注意分析式子的结构特点，合理选择正余弦的和与差公式． (2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用． (3)注意非特殊角与特殊角间的联系及将特殊值转化为特殊角．　　 角度2　给值求值 　(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ． 解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以(sin α＋cos β)2＋(cos α＋sin β)2 ＝sin2α＋cos2α＋cos2β＋sin2β＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1＋1＋2sin(α＋β)＝1， 所以sin(α＋β)＝－. 答案：－ (2)设α为锐角，若cos＝，则sin＝ ． 解析：因为α为锐角，cos＝， 则sin＝， 所以sin＝sin ＝sincos－cossin＝－. 答案：－ (3)已知<β<α<， cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－.求sin 2α的值． 解：因为<β<α<， 所以0<α－β<，π<α＋β<， 所以sin(α－β)＝ ＝， cos(α＋β)＝－＝－. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝×＋×＝－. 1．给值求值问题的两种类型 (1)直接利用公式展开后求值． (2)变角求值，即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号． 2．用已知角表示未知角常见的变角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)， 2β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．　　 [跟踪训练] 1．sin 69°cos 99°－cos 69°sin 99°＝ ． 解析：原式＝sin(69°－99°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－. 答案：－ 2.的值为 ． 解析：原式＝ ＝＝2sin 30°＝1. 答案：1 3．已知sin α＝，cos β＝－，α，β为相邻象限的角，求sin(α＋β)与sin(α－β)的值． 解：∵sin α＝>0，∴α为第一、二象限角． ∵cos β＝－<0，∴β为第二、三象限角． ∴α在第一象限，β在第二象限或α在第二象限，β在第三象限． (1)当α在第一象限，β在第二象限时，则cos α＝，sin β＝， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋×＝， sin(α－β)＝. (2)当α在第二象限，β在第三象限时，则cos α＝－，sin β＝－， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋(－)×(－)＝， sin(α－β)＝. 探究点二　两角和与差的正切公式及其应用 [基础梳理] 1．两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角 和的 正切 Tα＋β tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ ＋(k∈Z)且 tan α·tan β≠1 两角 差的 正切 Tα－β tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ ＋(k∈Z)且 tan α·tan β≠－1 2.公式的变式 tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan