第四章 1.3 综合应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　同角三角函数的基本关系 1．1　基本关系式 1．2　由一个三角函数值求其他三角函数值 1．3　综合应用 [素养目标]　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系．　2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．　3.培养学生逻辑推理、数学运算的学科素养 探究点一　利用同角三角函数的基本关系求值 [基础梳理] 1．平方关系 (1)公式：sin2 α＋cos2 α＝1． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 2．商数关系 (1)公式：＝tan α. (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． [互动探究] 角度1　知弦求弦 　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为(　　) A．　 B．　 C．－　 D．－ 解析：C　因为(sin θ＋cos θ)2＝， 所以1＋2sin θcos θ＝， 所以2sin θcos θ＝， 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， 可得sin θ－cos θ＝±. 又因为θ∈，所以sin θ<cos θ， 所以sin θ－cos θ＝－. 角度2　知弦求切 　已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求tan θ. 解：法一：因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝－. 由根与系数的关系知，sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根， 所以x1＝，x2＝－. 又sin θcos θ＝－<0， 所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ＝，cos θ＝－， 所以tan θ＝＝－. 法二：同法一得，sin θcos θ＝－， 所以＝－. ＝－， 即60tan2 θ＋169tan θ＋60＝0. 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 由 得θ∈，所以tan θ＝－. 角度3　知切求弦 　已知tan α＝－，求下列各式的值： (1)sin α＋2cos α； (2). 解：(1)tan α＝＝－， 所以cos α＝－2sin α， 又sin2 α＋cos2 α＝1， 所以sin2 α＋4sin2 α＝1， 所以sin2 α＝，所以sin α＝±. 当α为第二象限角时，sin α＝， cos α＝－，sin α＋2cos α＝－； 当α为第四象限角时，sin α＝－， cos α＝，sin α＋2cos α＝. 综上所述，sin α＋2cos α＝±. (2)＝＝＝. 由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类： (1)依据：cos α＝±或sin α＝±，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用tan α＝时，不存在符号的选取问题． (2)分类： ①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解． (3)sin α±cos α与sin αcos α相互转化方法：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.　　 [跟踪训练] 1．若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值． 解：∵sin α＝－，α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－＝－，tan α＝＝－×(－)＝. 2．在△ABC中，tan A＝，求sin A和cos A的值． 解：由tan A＝＝得sin A＝cos A，① 又sin2 A＋cos2 A＝1，② 由①②得cos2 A＝. 又∵A∈(0，π)且tan A＝>0， ∴A为锐角． ∴cos A＝，代入①得sin A＝. 探究点二　利用同角三角函数的基本关系化简 [互动探究] 　化简tan α ，其中α是第二象限角． 解：因为α是第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0. 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝·＝·＝－1. 化简三角函数式要求及化简技巧 (1)一般要求： ①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低； ④能求值的求值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式． (2)化简技巧： ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；　　 ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的； ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2 α＋cos2 α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [跟踪训练] 3．设0≤x≤，则＝(　　) A．cos x－sin x　　　　 B．sin x－cos x C．cos x＋sin x D．－cos x－sin x