6.5.2.2 平面与平面垂直的判定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂课时作业（北师大版）

世数学B5) 数 课时 间 第二课时 平正 学 纠错空间 作业 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC,BD ⊥AD,那么有 A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC 2.如图，PA垂直于矩形 ABCD所在的平面，则 图中与平面PCD垂直 的平面是 ( A.平面ABCD B.平面PBC C.平面PAD D.平面PAB 3.(多选)设l,m,n表示三条不同的直线 a,B,y表示三个不同的平面，给出下列 四个选项中正确的是 方法总结 A.若l∥a,m∥1，m⊥B,则a⊥β B.若m⊥a,m⊥n,则n∥a C.若m,n为异面直线，m∥a,n∥a,m∥ B,n∥B,则a∥B D.若a⊥B,a⊥y,则YLB 4.（多选)如图，PA垂直于 以AB为直径的圆所在的 平面，点C是圆周上异于 A,B任一点，则下列结论 中正确的是 ( A.PB⊥AC B.PC⊥BC C.AC⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC 5.如图，点P在正方体 D ABCD-A1B,C,D1的 面对角线BC,上运 动，则下面四个结论： ①三棱锥A一D,PC 的体积不变；②A,P∥ 平面ACD;③DP⊥BC1;④平面PDB ⊥平面ACD1. 其中正确结论的序号是 ,(写 出所有你认为正确结论的序号) 。1 必修第二册 面与平面垂直的判定 6.ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,则 二面角B一PA一C的平面角的度数为 7.如图，在三棱锥 P一ABC内，侧面 PAC⊥底面ABC,且 ∠PAC=90°，PA= 1,AB=2,AC=3,则 PC= ,PB 8.如图所示，在四棱锥 P P-ABCD中，PA⊥ 底面ABCD,且底面 各边都相等，点M是 PC上的一个动点，当 点M满足 时，平面MBD⊥平 面PCD.(填写一个你认为正确的条件 即可) 9.如图，在四面体 ABCD中，BD= √2a,AB=AD=CB =CD=AC=a.求 证：平面ABD⊥平 面BCD. 6· 第六章立体几何初步 课时作业乡 10.如图所示，在长方体AB 12.如图所示，在三棱柱 CD-A1B1C1D1中，AB= ABC-A,B,C1中， AD=1,AA,=2,M是棱 ∠ACB=90°，D是 间 CC,的中点.证明：平面 线段AC的中点，且 纠错空间 ABM⊥平面A,B,M. D A,D⊥平面ABC. (1)求证：平面A,BC ⊥平面AA,C,C: (2)求证：B,C∥平面A,BD; (3)若A1B⊥AC1,AC=BC=2,求二 面角A一A,B一C的余弦值， 能力提升 NENG LI TI SHENG 11.已知四棱柱ABCD C -AB,CD中，四 M 素养培优 SU YANG PEI YOU 边形ABCD为菱形， B 13.如图，矩形ABCD所 方法总结 平面BCCB,⊥平面 在的半平面和直角 ABCD,且∠DA1D1 梯形CDEF所在的 =∠DD1A1,M, 半平面成60°的二面 N分别是线段 角，DE∥CF,CD⊥ A,D1,BC的中点. DE,AD=2,EF=3√2，CF=6, 求证：(1)MN∥平面ABB1A1; ∠CFE=45°. (2)平面ACA,⊥平面MDB. (1)求证：平面CDEF⊥平面BCF; (2)试问在线段CF上是否存在一点 G,使锐二面角B一EG一D的余弦值 为？若存在，请求出CG的值：若不 存在，请说明理由 ·117·世数学B5) 即2=BO·√6，解得BO= 4 √6 B0=V6=30 所以sin∠BC0-肥2后言 所以BC,与平面B,CEF所成的角的正孩值为Y. 15 5.2平面与平面垂直 第一课时平面与平面垂直的性质 1.A2.B3.D4.C5.AB 6.AB[若点P在二面角内，则二面角的大小角为120°： 若，点P在二面角外，则二面角的大小为60°.故选AB.] 7.解析：，侧面PAC⊥底面ABC,∠PAC=90°，即PA⊥ AC,.PA⊥平面ABC,,PA⊥AB,.PB= √PA+AB=√1+4=√5. 答案：√5 8.解析：此二面角的平面角为∠BDC,设AD=1,则AB= AC=√2，又：∠BAC=60°，∴.BC=√2，在△BDC中，BD =CD=1,∴.BD+CD=BC, ∴.∠BDC=90 答案：90° 9.解析：因为AD⊥BC,所以AD⊥BD,AD⊥CD,所以 ∠BDC是二面角B一AD-C的平面角.因为平面ABD ⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD中，∠BDC= 90.aD=cD-9所以c√/)--1 则△ABC为正三角形，所以∠BAC=60° 答案：160° 10.证明：在平面PAB内，作AD⊥PB于D. :平面PAB⊥平面PBC, 且平面PAB∩平面PBC=PB, ∴.AD⊥平面PBC. 又BCC平面PBC, .AD⊥BC. 又，PA⊥平面ABC,BCC平 面ABC, .PA⊥BC,又PA∩AD=A, ∴.BC⊥平面PAB. 又ABC平面PAB,.BC⊥AB. 11.解析：取AD的中点G,连接PG,BG(图略). ·△PAD是等边三角形，，，PG⊥AD.又平面PAD 平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PGC平面PAD, .PG⊥平面AC,.∠PBG为PB与平面AC所成的角 A.易知在△PBG中，PG⊥BG,BG=PG,.∠PBG= 45°，即0=45°. 12.A[如图，连接AB, a A'B.则由已知AA'⊥平面B, ∠ABA=否，BB上平面Q ∠BAB=于.设AB=Q,则BA 9B服=号在R△BAB中， AB'-ta. 常] ·17 必修第二册 13.证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD,EF⊥AD,则 AB∥EF.又因为EF中平面ABC,ABC平面ABC,所 以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD =BD,BCC平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平 面ABD. 因为ADC平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC ∩AB=B,ABC平面ABC,BCC平面ABC,所以AD⊥ 平面ABC.又因为ACC平面ABC,所以AD⊥AC 14.解：(1)证明：在题图①中连接OD,OE. 易得OC=3,AC=3√2，AD=2√2，OD=OE=√5. 因为A'D=A'E=2√2， 所以A'D=A'O+OD,A'E2=A'O十OE, 即A'O⊥OD,A'O⊥OE,又OD∩OE=O, 所以AO⊥平面BCDE (2)在题图②中设CD,BE的延长线交于R点，取CR 的中，点M,连接OM,A'M(图略)， 则易证OM⊥CR,A'M⊥CR. 则∠A'MO就是二面角A'一CD一B的平面角，易得 A'M-30 OM=32 2 所以oAM0=0=四， 51 即二面角A'-CD-B的平面角的余孩值为 51 (3)取BR的中，点N,连接A'N和ON,过点O作OQ⊥ A'N交A'N于Q,连接BQ,则OQ⊥平面A'BE, 所以∠OBQ就是直线BC与平面A'BE所成的角. 易得0Q=3 5 ,OB=3, 所以s0Q-器=写，即直线CB与年西ABE所 成角的正孩值为得 第二课时平面与平面垂直的判定 1.D2.C3.AC4.BD5.①②④ 6.解析：PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,ACC平面 ABCD,.PA⊥AB,PA⊥AC,即∠BAC即为二面角 B一PA一C的平面角，又在正方形中∠BAC=45°，故所 求二面角的平面角为45°. 答案：45 7.解析：侧面PAC⊥底面ABC,交线为AC,∠PAC=90° (即AC⊥PA), .PA⊥平面ABC,又ABC平面ABC, PA⊥AB, .PC=√/PA2+AC2=W1+9=/10, PB=√PA十AB=√I十4=√5. 答案：√10√5 8.解析：连接AC(图略)，由题意得BD⊥AC, PA⊥底面ABCD,PA⊥BD. 又PA∩AC=A, .BD⊥平面PAC,.BD⊥PC 令点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC), 0 参考答案 BD∩DM=D(或DB∩BM-B), ∴.PC⊥平面MBD, 而PCC平面PCD, .平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC) 9.证明：取BD的中点E,连接AE,CE, D C 因为△ABD与△BCD是等腰三角形， 所以AE⊥BD,BD⊥CE 所以∠AEC是二面角A一BD一C的平面角. 在△ABD中，AB=a,BE=BD-9。 , 所以AE=VAB-BE= 2a. 月理CE-号在△ABC中，AE=CR-竖AC-A 由于AC=AE+CE,所以AE⊥CE,所以∠AEC 90°，所以平面ABD⊥平面BCD. 10.证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,又因 为BMC平面BCC1B1,所以AB,⊥BM又因为CC1= 2,M为CC1的中点，所以CM=CM=1.在 Rt△B,CM中B1M=√BC十MC=√2，同理BM= √BC+CM=√2，又因为B1B=2,所以B1M+BM =B1B2,从而BM⊥B,M.所以BM⊥平面A,B,M,因 为BMC平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1BM 11.证明：(1)连接A1B,四棱柱 D M ABCD-A1BC1D1中， A1B1CD,BB1CC是平行四边 形，所以AD1∥BC1,BC∥ BC1,且A1D1=BC1,BC= BC,又因为点M,N分别为线 A B 段A1D,BC的中点，所以MA∥VB,MA1=NB,所 以四边形MA1BN是平行四边形；所以MN∥A1B,又 图为MN平面ABB1A1,A1BC平面ABB1A1,所以 MN∥平面ABBA. (2)四棱柱ABCD-A1B1CD1中，四边形AA1D1D是 平行四边形， 所以AD∥AD,在△DAD1中，∠DAD1=∠DDA1, 所以DA1=DD1,点M为线段A1D1的中点，所以DM ⊥A1D1,又因为AD∥A1D1,所以DMLAD, 又因为平面BCCB1⊥平面ABCD,故平面A1ADD1⊥ 平面ABCD, 而平面A1ADD∩平面ABCD=AD,DMC平面 A1ADD1,所以DM⊥平面ABCD;又因为ACC平面 ABCD,所以DM⊥AC;因为底面ABCD是菱形，所以 BD⊥AC,又因为BD∩DM=D,BD,DMC平面 MDB,所以AC⊥平面MDB,而ACC平面ACA1,故平 面ACA1⊥平面MDB. ·171 课时作业兰 12.解：(1)因为∠ACB=90°，所以BC⊥AC 因为A,D⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以A,D ⊥BC. 因为A1D∩AC=D,所以BC⊥平面AA1CC. 又BCC平面ABC,所以平面A,BC⊥平面AA,C1C. (2)连接AB1,设AB,∩A1B=E,连接DE,如图所示. 根据棱柱的几何性质可知，E为AB1的中点， 因为D是AC的中点，所以DE∥BC. 又DEC平面A,BD, B1C吨平面ABD, B 所以B,C∥平面A1BD. (3)由(1)知BC⊥平面 AA1CC,所以BC⊥AC1. M 因为A1B⊥AC, D A1B∩BC=B,所以AC1⊥平 面A1BC, 所以AC1⊥A1C,所以四边形AACC为菱形， 所以AA1=AC=2.设AC∩A1C=O,过点O作OM⊥ A1B,垂足为M,连接AM.如图所示. 因为AO⊥平面A1BC,所以AO⊥A1B, 又OM⊥A1B,OM∩AO=O,所以A1B⊥平面AOM,所 以A1B⊥AM. 则∠AMO为二面角A一A1B-C的平面角.因为AA1 =AC=BC=2,D为AC中点，则易得A,C=AA1=2, 所以A0.0M=号别AM-=夏 2 所以0<AM0器9 所以二面角A一A!B-C的余弦值是 7 13.解：(1)证明：DE∥CF,CD⊥DE, .CD⊥CF, 又CD⊥CB,CB∩CF=C, .CD⊥平面BCF, 又，CDC平面CDEF, .平面CDEF⊥平面BCF, (2)在线段CF上存在一点G, 当CG=二时特合题意，由1 B 得平面CDEF⊥平面BCF,在 平面BCF内，作BO⊥CF于O, G :平面CDEF∩平面BCFC =CF, ∴.BO⊥平面CDEF. 过O作OH⊥EH交于CF,点G,连接BH, .HO为HB在平面CEG内的投影， .∠BHO是锐二面角B一EG一D的平面角， 易得∠BCF为锐二面角A一CD一F的平面角， ∴∠BCF=60°，又，BC=AD=2, ∴.BO=√5， 又“锐二面角B-EG-D的余孩值是子， OH 1 √OH+BO /3+OH 4, ∴OH= 5 世数学(B5 取CF的中点M,连接EM,易知△OHG与△EMG相 级，设0G=>0,期8肥器 ⑤ 即5 3 √9+(2-x) 解得=子或=一是（合去 因此存在特合题意的点G,且CG=是 §6.简单几何体的再认识 6.1柱、锥、台的侧面展开与面积 1.D2.A3.D4.B5.A 6.B[如图，取AB1的中点N,连 B 接BN,MN易知平面BCMN为 过B,C,M三，点的平面，则所得的 B 三棱台为A,MN一ABC,其中上 底面、下底面均为等腰直角三角 M 形，三个侧面均为直角梯形 Sc=2×4X4=8,5w=合X2X2=2, Sa8=合X(2+4)X5=15,S4e=2X(2 E+4②X5=15E,Saww=X(2+4)XV2丽= 3√29，所以该三棱台的表面积为25十15√2十3√29.] 7.解析：由题图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱 的一个底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，圆柱的一 个底面积为4π；圆柱的侧面积为2π×2X2=8π：圆锥的 母线=√22十1严=√5，所以圆锥的侧面积为πX2义√5 =2√5π，所以该模型的表面积为(12十2√5)π. 答案：(12+2√5)π 8.解析：方程x2-9x十18=0的两个根为x1=3,x2=6,设 侧面标形的高为，则由题意得弓X(3十6)Xh×4=3 十6，解得h=名 5 答案：2 9.解析：正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE. ,OE=2cm,∠OPE=30°， “斜高PE=OE=2=4. sin30°- 2 因此5=号×4X4X4=32(m), S袋缘表=32十16=48(cm2). 答案：32cm248cm2 10.解析：如图，设正六棱柱的底面边长 E 为a,侧棱长（即正六棱柱的高）为 h,易知CF是正六棱柱的一条最长 A B 的体对角线，即CF=13, D 所以CF'=√CF2+FFT √/4a2+h=13.① B 因为正六棱柱的侧面积为l80,所以S酬=6a·h= 180.② 5 数a0②，解释侣-8子”臭位合去： (h=12, ·17 必修第二册 当a=6,h=5时，正六枝柱的底面积S4=6×5a 4 54√5. 所以S,=180十2×54√5=180十1085. 当a=号A=12时，正六棱柱的底面积Sa=6×。 =753 8 所以S=180+2×755-=180+755 8 4 综上，该正六棱柱的表面积为180+108√ 或180+75V返 41 11.解：设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面 积为S. 0= C 则R=OC=2,AC=4,A0=√4-2=2√3. 如周所市为知△AEB△40c一指畏中语 2√5 台r=1 S底=2元r2=2元，S州=2元·h=2V5元. ∴.S=S意十S=2π十2√3π=(2十2√3)π. 12.解：易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，W2,1. 考虑该几何体在水平面的投影，可知其在水平面的投 影面积与最大正方体的一个底面的面积相等， .S=2×22+4×[22+(√2)2+1]=36. 该塔形组合体的表面积为36. 13.解：(1)由题意可知，圆锥的母线1长为√R2十(5R) =2R. 所以该圆锥的表面积为πR(R十l)=3πR」 (2)如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x, C-- 01 易知△PBC∽△PAO,所以BC=PC AO PO' 即壳-R-0C 3R 解得OC=√3(R-x), 正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为√瓦x,底 面积为2x2, 所以正四棱柱的表面积为S=2X2x十4X√2xX√3(R -x)=(4-4√6)x2+4√6Rx, 2