第二章 6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

6．2　平面向量在几何、物理中的应用举例 [素养目标]　1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．　2.会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．　3.通过实例，培养学生直观想象、逻辑推理、数学建模、数学运算的学科素养． 探究点一　几何中的向量方法 [基础梳理] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，常用共线(平行)向量基本定理：a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，用夹角公式：cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)． (4)计算线段长度，常用模长公式：|AB|＝||＝. [互动探究] 角度1　向量在几何证明中的应用 　如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD． 证明：法一：∵＝＋，＝－，∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0. ∴⊥，即AC⊥BD． 法二：如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，则B(0，0)． 设A(a，b)，C(c，0)，则＝(a，b)，＝(c，0)． 由||＝||，得a2＋b2＝c2. ∵＝－＝(c，0)－(a，b)＝(c－a，－b)，＝＋＝(a，b)＋(c，0)＝(c＋a，b)， ∴·＝c2－a2－b2＝0. ∴⊥，即AC⊥BD． 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基；②用基表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．　　 角度2　向量在几何求值中的应用 　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． 解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n，0)． 因为D为AB的中点，所以 D，所以||＝ ，||＝ ，所以||＝||， 即CD＝AB． (2)因为E为CD的中点， 所以E，设F(x，0) ， 则＝，＝(x，－m)． 因为A，E，F三点共线，所以＝λ. 即(x，－m)＝λ. 则故λ＝，即x＝， 所以F，所以||＝ ， 即AF的长为 . 1．用向量法求长度的策略 (1)利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ . 2．向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算．　　 [跟踪训练] 1．已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，则∠EAC的大小为 ． 解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，C(，1)， E(，1)，＝(，1)，＝ (，1)，·＝2. cos∠EAC＝＝＝. ∵0<∠EAC<，∴∠EAC＝. 答案： 2．如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线． 证明：因为DE＝AB，DF＝DB， 所以＝，＝＝， 于是＝－＝－ ＝＋＝＝－， 因此∥， 又因为，有公共点F，所以A，E，F三点共线． 探究点二　向量在物理中的应用 [基础梳理] 向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等． (2)向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解． (3)动量mv是向量的数乘运算． (4)功是力F与所产生的位移s的数量积． [互动探究] 角度1　向量的线性运算在物理中的应用 　在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． 解：设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω，如图所示． 设||＝|va|， ||＝|ω|，||＝|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，则∠BAD＝45°. 则||＝150 km/h，||＝75(－)km/h， 所以||＝||＝|| ＝75 km/h，||＝75 km/h. 从而||＝150 km/h，∠C