第二章 6.1 第一课时 余弦定理-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§6　平面向量的应用 6．1　余弦定理与正弦定理 [素养目标]　1.借助向量的运算，探索三角形边长与角的关系，掌握余弦定理、正弦定理．　2.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．　3.通过实例培养学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模的学科素养． 第一课时　余弦定理 探究点一　余弦定理及其应用 [基础梳理] 余弦定理 文字 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 cos A＝，cos B＝， cos C＝ [互动探究] 角度1　已知两边及一角解三角形 　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解此三角形． 解：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(－)2， ∴c＝－， ∵cos A＝＝， 0°＜A＜180°，∴A＝30°，B＝135°. (2)已知在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，解此三角形． 解：由已知条件及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得()2＝a2＋32－2·a·3×cos 30°， ∴a2－3a＋6＝0，∴a＝或a＝2. 当a＝时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°； 当a＝2时，则有a2＝b2＋c2， ∴A＝90°，C＝60°. 综上C＝120°，A＝30°，a＝或C＝60°，A＝90°，a＝2. 1．已知两边及其中一边的对角解三角形的方法 用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． 2．已知两边及其夹角解三角形的方法 首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．　　 角度2　已知三角形的三边关系解三角形 　在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝＋，解此三角形 解：∵cos A＝＝＝， ∴A＝60°，∵cos B＝ ＝＝， ∴B＝45°，∴C＝75°. 已知三边解三角形的方法及注意事项 (1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值．值非负，角为锐角或直角；值为负，则角为钝角．思路清晰，结果唯一． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．　　 角度3　用余弦定理进行边角互化 　在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C．试判断△ABC的形状． 解：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc， 由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以cos A＝ ，即A＝60°. 又因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 且sin A＝2sin Bcos C， 所以sin Bcos C＝cos Bsin C，则sin(B－C)＝0， 所以B＝C． 又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°， 即B＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形． 符合余弦定理的三边关系的特征：有边的平方及两边的积，经过变形构造出余弦定理的形式，从而求出一个角．　　 [跟踪训练] 1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，C＝120°，则AC＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：A　在△ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcos C，得13＝9＋b2－2×3b·，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)即AC＝1.选A． 2．若三角形三边长之比是1∶∶2，则其所对角之比是(　　) A．1∶2∶3 B．1∶∶2 C．1∶∶ D．∶∶2 解析：A　设三角形三边长分别为m，m，2m(m＞0)，最大角为A， 则cos A＝＝0. ∴A＝90°. 设最小角为B，则cos B＝＝， ∴B＝30°，C＝60°. 故三角形三角之比为1∶2∶3. 3．在△ABC中，已知acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状． 解：由余弦定理，得a·＋b·＝c·. 所以a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)， a2(b2－a2)＋a2c2＋b2(a2－b2)＋b2c2＝c2a2＋b2c2－c4， 即(a2－b2)2＝c4，所以a2－b2＝c2或a2－b2＝－c2， 即b2＋c2＝a2或a2＋c2＝b2. 所以△ABC是直角三角形． 探究点二　三角形的面积问题 [基础梳理] 三角形的面积公式 在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则 (1)ha＝bsin C＝csin B，hb＝csin A＝asin C，hc＝asin B＝bsin A； (2)S＝aha＝bhb＝