第二章 6.1 第四课时 余弦定理、正弦定理的实际应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第四课时　余弦定理、正弦定理的实际应用 探究点一　测量距离问题 [基础梳理] 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如图，北偏东30°，南偏东45°. [互动探究] 　如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离． 解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°. ∵AB∥CD，∴C＝180°－150°＝30°. 在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°， ∴BD＝＝＝3＋3. 在Rt△DBC中，CD＝＝＝6＋6. ∴C，D之间的距离为(6＋6) m. 求距离问题的关键点 (1)基线的选取要恰当(如本例中的AB)； (2)选定或创建的三角形要确定； (3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．　　 [跟踪训练] 1．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处，又测得灯塔S在货轮的北偏东45°方向，则货轮的速度为 海里/时． 解析：由题意可知∠SMN＝15°＋90°＝105°，∠SNM＝45°，SM＝20海里， ∴∠NSM＝30°. 在△SMN中，由正弦定理＝，得＝，解得MN＝10海里． ∴货轮的速度为＝20(海里/时)． 答案：20 2．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 解：在△ACD中，∠ADC＝30°， ∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°. ∴AC＝CD＝ km. 在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°. 在△BCD中，由正弦定理，得 BC＝＝. 则在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA ＝()2＋－2×cos 75°＝5. ∴AB＝ km. ∴两目标A，B之间的距离为 km. 探究点二　测量高度问题 [基础梳理] 仰角和俯角 (1)前提：在视线所在的垂直平面内． (2)仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角． (3)俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角． [互动探究] 　如图，AB是立于山顶上的电视塔，现借助升降机测量塔高，当升降机在底部C时，测得点A的仰角为50°，点B的仰角为80°；当升降机上升10米至D时，测得点A的仰角为30°，求塔高(结果保留到小数点后一位数字)． (注：sin 10°≈0.342，sin 20°≈0.174，≈1.732) 解：在△ACD中，∠ACD＝40°，∠ADC＝120°， ∴∠DAC＝20°. 由正弦定理，得＝， 解得AC＝. 在△ACB中，∠ACB＝80°－50°＝30°，∠ABC＝10°. 由正弦定理，得＝， 得AB＝≈ ≈72.8(米)， 故塔高为72.8米． 1．对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线和基线所在的平面上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理解决即可． 2．对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一参照物作为研究的桥梁，然后找到可测参照物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可．　　 [跟踪训练] 3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m. 解析：在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°， ∴∠ACB＝45°. 又∵AB＝600 m， 由正弦定理得＝，代入AB解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中， CD＝BC·tan 30°＝300× ＝100(m)． 答案：100 探究点三　测量角度问题 [互动探究] 　如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？ 解：如图，连接A1B2由已知得A2B2＝10，A1A2＝30×＝10， ∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝6