第二章 6.1 第三课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 探究点一　三角形中边角关系恒等式的证明 [互动探究] 　在△ABC中，求证：＝. 证明：法一：化角为边 左边＝ ＝· ＝＝＝＝右边． 法二：化边为角 左边＝ ＝ ＝＝＝右边． 解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用．三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理和射影定理这三个定理组，知道一组就可推出其余两组，因此，这类题型都可用不同的途径求解．　　 [跟踪训练] 1．在△ABC中，求证：＝. 证明：右边＝ ＝·cos B－·cos A ＝·－· ＝－＝＝左边， 所以＝. 探究点二　平面几何中的问题 [互动探究] 　在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； (2)求AB的值． 解：(1)在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝＝. 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， ∴∠CBD＝90° (2)∵∠ABC＝105°，∠DBC＝90°， ∴∠ABD＝105°－90°＝15°， ∴∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝. 此类题目求解时，一般有如下思路： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．　　 [跟踪训练] 2．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(　　) A．5　　 B．　　 C．2　　 D．1 解析：B　由三角形面积公式，得S＝AB·BC·sin B＝. 又∵AB＝1，BC＝，∴sin B＝.∵B∈(0，π)，∴B＝或B＝.由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B．当B＝时，得AC＝1，这时不符合钝角三角形的要求，故舍去；当B＝时，得AC＝，故选B． 3．在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝. (1)若△ABC的面积等于，求a，b； (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积． 解：(1)∵S＝absin C，∴＝absin ， ∴ab＝4. 又∵c2＝a2＋b2－2abcos C， 即4＝a2＋b2－4，∴a2＋b2＝8， ∴a＝b＝2. (2)由正弦定理，得b＝2a， 联立得方程组 解得a＝，b＝(负值舍去)， 所以△ABC的面积S＝absin C＝. 探究点三　余弦定理、正弦定理与其他知识的综合 [互动探究] 　已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(cos(2x＋)，1)，b＝(2，1)，x∈R. (1)求函数y＝f(x)的单调递减区间； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值． 解：(1)f(x)＝a·b＝1＋2cos(2x＋)， 令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)． (2)∵f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1， ∴cos(2A＋)＝－1. 又0＜A＜π，故＜2A＋＜， ∴2A＋＝π，即A＝. ∵a＝， 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.① ∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线， ∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，② 由①②，可得b＝3，c＝2. 解三角形往往与三角函数、平面向量的有关知识综合起来考查，其中熟练掌握三角函数的图象、向量数量积及向量平行与垂直是解答此类问题的前提和基础．　　 [跟踪训练] 4．已知(a2＋bc)x2＋2x＋1＝0是关于x的二次方程，其中a，b，c是△ABC的三边． (1)若方程有两个相等实数根，求角A的度数； (2)若A为钝角，试判断方程根的情况． 解：(1)因为方程有两个相等实数根，所以Δ＝4(b2＋c2－a2)－4bc＝0，即b2＋c2－a2＝bc， 又cos A＝＝，0＜A＜π，所以A＝60°. (2)因为A为钝角，所以cos A＝＜0，即b2＋c2－a2＜0， 所以Δ＝4(b2＋c2－a2)－4bc＜0，故原方程无实数根． 1．在△ABC中，B＝，BC边上的高为BC，则sin A等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：D　设BC边上的高AD交BC于点D(图略)，由题意知B＝，BD＝BC