第二章 6.1 第二课时 正弦定理-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　正弦定理 探究点一　正弦定理的应用 [基础梳理] 正弦定理 [互动探究] 角度1　已知两角及一边解三角形 　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B． 解：∵＝， ∴a＝＝＝10. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵＝， ∴b＝＝＝20sin 75° ＝20×＝5(＋)． 1．此类问题的结果为唯一解．在三角形内角和定理使用中，第三个角唯一，所以使用正弦定理求出另两边也必定唯一． 2．解决已知两角及一边类型的解题方法是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．　　 角度2　已知两边与其中一边的对角解三角形 　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求边b. 解：因为＝， 所以sin C＝＝＝， 因为0°<C<180°，所以C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1. 所以b＝＋1或b＝－1. 已知两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． (4)如果用余弦定理直接求另一边．解方程时，只要为正根，都适合题意；有两根，则有两个三角形；有一根，则有一个三角形；无根，不存在这样的三角形．　　 [跟踪训练] 1．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2, AB边上的高是 ． 解析：由正弦定理＝，得sin C＝＝＝.∵0°<C<150°，∴C＝60°或C＝120°. 当C＝60°时，A＝90 °，AB边上的高为2； 当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2 2．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，求三角形的其他两边． 解：根据正弦定理得b＝＝＝10，又C＝180°－(30°＋60°)＝90°， 所以c＝＝＝20. 探究点二　正弦定理的推广及其变形公式的应用 [基础梳理] 1．正弦定理比例式的意义：设△ABC外接圆的半径为R，则＝＝＝2R．这一结论对任意三角形都成立． 2．正弦定理的常见变形 边化角公式 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 角化边公式 sin A＝，sin B＝，sin C＝ 变式1 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C 变式2 ＝＝＝＝2R 变式3 asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B [互动探究] 　(1)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形　　　　 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 解析：A　由正弦定理知 ＝＝＝2R， ∴sin A＝，sin B＝，sin C＝， ∵sin2A＋sin2B<sin2C，∴a2＋b2<c2. 又由余弦定理得 cos C＝<0， 又0<C<π，∴<C<π. 故△ABC为钝角三角形． (2)在△ABC中，已知＝且2sin Asin B＝2sin2C，试判断该三角形的形状． 解：由已知＝＝， ∴b2－a2＝ab，① 又2sin Asin B＝2sin2C， 由正弦定理得2ab＝2c2.② 由①②，得b2＝a2＋c2. ∴该三角形是以B为直角的直角三角形． 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝. (2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C．　　 [跟踪训练] 3．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．2 解析：B　由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝. 4．在△ABC中，若＝＝，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：D　由正弦定理得a＝2Rsin A