第二章 5.3 利用数量积计算长度与角度-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

5．2　向量数量积的坐标表示 5．3　利用数量积计算长度与角度 [素养目标]　1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角与计算．　2.推导出向量的模长公式、夹角公式的坐标表示，并能简单应用．　3.培养学生数学运算、直观想象、逻辑推理的学科素养． 探究点一　平面向量数量积的坐标运算 [基础梳理] 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． [互动探究] 　(1)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝(　　) A．5　　 B．4　　　 C．3　　 D．2 解析：A　由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝5. (2)已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. ①求a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解：①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2，4)． ②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0·a＝0， (a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)． 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径；一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．　　 [跟踪训练] 1．设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．12　　 B．0　　 C．－3　　 D．－1 解析：C　∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 探究点二　向量模的问题 [基础梳理] 1．设a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝ . 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a＝＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝||＝. [互动探究] 　设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)． (1)求a－2b的坐标和模的大小； (2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. 解：(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)， ∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)．|a－2b|＝ ＝. (2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，所以c＝a＋b＝(1，6)．∴|c|＝ ＝. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，忽忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　　 [跟踪训练] 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，y)，且a＋b＝(4，3)，则|a－2b|等于 ． 解析：由a＋b＝(1，2)＋(x，y)＝(x＋1，y＋2)＝(4，3)， 得解得即b＝(3，1)． ∴a－2b＝(1，2)－2(3，1)＝(－5，0)， ∴|a－2b|＝5. 答案：5 探究点三　向量的夹角与垂直 [基础梳理] 1．向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 2．向量夹角的坐标求法 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 cos θ＝＝ . [互动探究] 　已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a与b的夹角为直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角． 解：设a与b的夹角为θ. a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ. (1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－. (2)因为a与b的夹角为钝角， 所以cos θ<0，且cos θ≠－1， 所以a·b<0且a与b不反向． 由a·b<0，得1＋2λ<0，故λ<－， 由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向． 所以λ的取值范围为. (3)因为a与b的夹角为锐角． 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b＞0且a，b不同向． 由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2， 所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)． 1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问题转化为向量坐标的计算问题，但要