第二章 5.1 第一课时 向量的数量积及夹角-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§5　从力的做功到向量的数量积 5．1　向量的数量积 [素养目标]　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．　3.能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律．　4.通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养． 第一课时　向量的数量积及夹角 探究点一　向量数量积的计算 [基础梳理] 向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos θ． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. [互动探究] 　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积． 解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时， a·b＝|a||b|cos 30° ＝4×5×＝10. 求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．　　 [跟踪训练] 1．已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，求a·(a－2b)． 解：a·b＝ ×2·cos ＝－2，a2＝|a|2＝2，所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2＋2×2＝6. 2．已知在⊙C中，AB的长为a，求·. 解：如图，设与的夹角为θ. 取AB的中点D，则CD⊥AB， ∠CAB＝θ， ∴cos θ＝＝. 即·＝||·||·cos θ＝AB·AC·＝AB2＝ a2. 探究点二　求向量的夹角 [基础梳理] 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π) 叫作向量a与b的夹角，记为〈a，b〉或θ. (2)范围：0°≤θ≤180°． (3)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b． (4)规定零向量可与任一向量垂直． 2．夹角公式：根据向量数量积的定义，若两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝. [互动探究] 　已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：B　由题意得Δ＝|a|2－4a·b≥0. ∴|a|2－4|a||b|cos θ≥0，又∵|a|＝2|b|， ∴4|b|2－4×2|b|2cos θ≥0，∴ cos θ≤， 又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.故选B． 求向量a与b夹角θ的思路 (1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ＝，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值． (2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． (3)数形结合法构造三角形求解．　　 [跟踪训练] 3．平面向量a和b， (1)如果a·b＝0，则a与b的夹角为 ； (2)如果a·b＝|a||b|，a与b的夹角为 ； (3)如果a·b＝－|a||b|，a与b的夹角为 ； (4)如果a·b＞0，a与b的夹角为 ； (5)如果a·b＜0，a与b的夹角为 ． 答案：(1)　(2)0　(3)π　(4)锐角或0　(5)钝角或π 4．已知|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，，则a与b的夹角为(　　) A．60°　　　　　　 B．120° C．135° D．150° 解析：B　∵a·b＝－60， ∴cos θ＝＝＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝120°，故选B． 探究点三　投影向量及其应用 [基础梳理] 1．投影向量的定义 如图所示，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A′，得到a在b上的投影γ＝，γ称为投影向量． |a|cos θ〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·. 2.向量数量积的几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积；或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积． [互动探究] 　如图，等腰梯形ABCD中，腰