第二章 5.1 第二课时 向量数量积的运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

第二课时　向量数量积的运算 探究点一　向量数量积的性质与运算律的应用 [基础梳理] 1．向量数量积的性质 (1)非零向量a，b垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0； (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|； 当0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0； 当90°<〈a，b〉≤180°时，a·b<0. (3)模长公式：a·a＝|a|2即|a|＝； (4)夹角公式：cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)； (5)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． 2．数量积的运算律 (1)对于向量a，b，c和实数λ，有 ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (2)类比多项式的乘法公式与向量数量积的乘法公式． 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a [互动探究] 　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·2b；②(a＋b)·(a－2b)；③(a＋b)2·(a－b)·a. 解：①a·2b＝2(a·b)＝2·|a||b|cos 120°＝2×4×2×＝－8. ②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12. ③∵(a＋b)2·(a－b)＝(|a|2＋2a·b＋|b|2)(a－b)＝(16－8＋4)(a－b)＝12(a－b)， ∴原式＝12(a－b)·a＝12(|a|2－a·b)＝12×(16＋4)＝240. 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　　 [跟踪训练] 1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求： ①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|. 解：①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3. ②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4. ③|a－b|＝＝＝＝. 探究点二　求向量的模 [基础梳理] 模长公式：|a|＝＝或|a|2＝a·a. [互动探究] 　(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 解：a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝. |a＋b|＝ ＝ ＝＝5. |a－b|＝ ＝ ＝＝5. (2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|2a＋b|的值． 解：∵|3a－2b|＝5， ∴|3a－2b|2＝25，即9|a|2－12a·b＋4|b|2＝25， ∴a·b＝25. 又∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝4×25＋4×25＋25＝225. ∴|2a＋b|＝15. 求向量|a|，一般先求出|a|2. [跟踪训练] 2．若本例(1)条件不变，求|2a＋b|和|a－2b|的值． 解：∵a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝， ∴|2a＋b|＝ ＝ ＝＝5. |a－2b|＝ ＝ ＝ ＝5. 探究点三　向量的垂直 [基础梳理] 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. [互动探究] 　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为 ． 解析：由题意得(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＞0， 即k|e1|2＋k|e2|2＋(k2＋1)e1e2＞0， ∵e1⊥e2，∴e1·e2＝0. 又∵|e1|＝|e2|＝1. ∴2k＞0，即k＞0. 又∵k＝1时，两向量相同，夹角为0，∴k≠1. ∴k的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)． 答案：(0，1)∪(1，＋∞) (2)已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直？ 解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. ∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b) ＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2 ＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0. ∴m＝，故当m＝时，c与d垂直． 1．由两向量垂直求参数一般是利用性质：a⊥b⇔a·b＝0. 2．由两向量夹角θ的取值范围，求参数