第二章 4.2 平面向量及运算的坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

4．2　平面向量及运算的坐标表示 [素养目标]　1.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算．　2.了解用坐标表示平面向量共线条件的推导过程，理解坐标表示的平面向量的共线条件．　3.培养学生数学抽象、数学运算的学科素养． 探究点一　平面向量的坐标表示 [基础梳理] 1．平面向量坐标的相关概念 2．向量坐标的几何意义 如图所示，在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则＝(x，y)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标． 3．中点坐标公式 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则， [互动探究] 　(1)已知＝(5，－3)，C(－1，3)，＝2，则点D的坐标为(　　) A．(11，9) B．(4，0)　 C．(9，3) D．(9，－3) 解析：D　设D(x，y)，因为C(－1，3)，所以＝(x＋1，y－3)． 又因为＝(5，－3)，＝2， 所以(x＋1，y－3)＝2(5，－3)＝(10，－6)． 所以即 所以点D的坐标为(9，－3)． (2)如图所示，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B，点D，与的坐标． 解：由题意知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点，设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝， 所以点B的坐标为(，)． x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， 所以点D的坐标为(－，)． 所以＝(，)，＝(－，)． 向量或点的坐标的确定 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，求出该点相对于坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．　　 [跟踪训练] 1．已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，边AB在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标． 解：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)， 所以C(1，)，D(，)， 所以＝(2，0)，＝(1，)， ＝(1－2，－0)＝(－1，)， ＝(－2，－0)＝(－，)． 探究点二　平面向量坐标的线性运算 [基础梳理] 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． (3)λa＝(λx1，λy1)，即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积． [互动探究] 　(1)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，则＝ ，＝ ，＋＝ ，－＝ ，2＋＝ ． (2)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－3)，c＝(－3，－2)，则a－2b＝ ，(2a－b)－(b－2c)＝ ． 解析：(1)因为A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)， 所以＝(7，5)－(4，6)＝(3，－1)； ＝(1，8)－(4，6)＝(－3，2)； ＋＝(3，－1)＋(－3，2)＝(0，1)； －＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)； 2＋＝2(3，－1)＋(－3，2) ＝(6，－2)＋＝. (2)由a＝(－1，2)，b＝(2，－3)，c＝(－3，－2)， 得a－2b＝(－1，2)－2(2，－3) ＝(－1－4，2＋6)＝(－5，8)； (2a－b)－(b－2c)＝2a－2b＋2c＝2(a－b＋c) ＝2(－1－2－3，2＋3－2)＝2(－6，3)＝(－12，6)． 答案：(1)(3，－1)　(－3，2)　(0，1)　(6，－3)　　(2)(－5，8)　(－12，6) 1．向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算．要注意三角形法则及平行四边形法则的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 2．若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示．　　 [跟踪训练] 2．已知三点A(2，－1)，B(3，4)，C(－2，0)，则＋＝ ，－＝ ，3－2＝ ． 解析：∵A(2，－1)，B(3，4)，C(－2，0)， ∴＝(1，5)，＝(4，－1)，＝(－5，－4)， ＝(－4，1)，＝(－1，－5)． ∴＋＝(1，5)＋(4，－1)＝(5，4)； －＝(－5，－4)－(1，5)＝(－6，－9)； 3－2＝3(－4，1)－2(－1，－5) ＝(－12，3)