第二章 4.1 平面向量基本定理-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§4　平面向量基本定理及坐标表示 4．1　平面向量基本定理 [素养目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义．　2.会用基表示向量．　3.通过实例，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 探究点一　对基的概念的理解 [基础梳理] 1．基：我们把不共线的向量e1和e2叫作表示这一平面向量的一组基，记作{e1，e2}． 2．正交基：若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基． 3．正交分解：在正交基下向量的线性表示称为正交分解． 4．标准正交基：若基中两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． [互动探究] 　如图，设点O是▱ABCD两对角线交点，下列向量组： ①与；②与；③与；④与.可作为该平面其他向量基的是(　　) A．①②　 B．①③　 C．①④　 D．③④ 解析：B　①与不共线；②＝－， ∴∥，即与共线； ③与不共线；④＝－. ∴∥，即与共线． 由平面向量基的概念知①③可构成平面内所有向量的基． 两个向量能否作为基，关键是看它们是否共线．此例题中的向量是否共线，主要看它们所在的线段是否在一条直线上或是否平行．　　 [跟踪训练] 1．设e1，e2是平面内的一组基，则下面四组向量不能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1 C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1 解析：B　∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2和4e2－6e1共线，不能作为平面向量的基，其他几组向量都不共线，可作为基． 探究点二　平向向量基本定理的应用 [基础梳理] 平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内两个不共线向量，那么对该平面内任意一个向量a，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． [互动探究] 　如图，△OAB中 ，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与相交于P，用向量a，b表示. 解：＝＋＝＋. 设＝m，＝n. 则＝＋m＝a＋m ＝(1－m)a＋mb， ＝＋n＝b＋n ＝(1－n)b＋na. ∵a，b不共线， ∴⇒ ∴＝a＋b. 用基表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基和要表示的向量联系起来．解决此类题时，要仔细观察所给图形，借助于平面几何知识和共线向量基本定理及平面向量基本定理解决． [跟踪训练] 2．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　) A．－＋ B．＋ C．－ D．－ 解析：D　＝－，＝＋. ∵E为BC的中点，F为AE的中点， ∴＝，＝， ∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－， 又∵＝，∴＝－.故选D． 1．下面三种说法中，正确的是(　　) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基；③零向量不可作为基中的向量． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：B　只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B． 2．设向量e1，e2为平面内所有向量的一组基，且向量a＝3e1－4e2与b＝6e1＋ke2不能作为一组基，则实数k的值为(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 解析：B　由a与b不能作为一组基，则a与b必共线，故＝，即k＝－8.故选B． 3．如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若＝a，＝b，则＝________． 解析：由题意知，＝，而＝－＝b－a，所以＝(b－a)＝b－a. 答案：b－a 4.如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，选择基{a，b}，试写出向量，在此基下的分解式． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC、DC边上的中点， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝＝b， ＝＝－＝－a， ∴＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－b＋a＋b＝a－b， ＝＋＝＋＝b－a. [基础巩固] 1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基，那么(　　) A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2是实数 C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 解析：A　平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的． 2．在△ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以＝e1，＝e2为基，则等于(　　) A．e1＋e2　　　　 B．e1＋e2 C．e1－e2 D．e