第二章 3.2 向量的数乘与向量共线的关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§3　从速度的倍数到向量的数乘 3．1　向量的数乘运算 3．2　向量的数乘与向量共线的关系 [素养目标]　1.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．　2.了解向量线性运算的性质及其几何意义．　3.通过实例，用向量解决一些几何问题，培养数学知识的运用，体会向量的工具性，培养数学运算、直观想象的学科素养． 探究点一　数乘向量的定义及运算律 [基础梳理] 1．向量的数乘运算 定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算称为向量的数乘，记作λa. 规定：(1)|λa|＝|λ||a|． (2)当λ>0时，向量λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，向量λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，0a＝0． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，a，b为向量，那么 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 特别地，我们有 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. [互动探究] 　(1)两个非零向量a与(2x－1)a的方向相同，则x的取值范围为________． 解析：由定义知，2x－1>0，即x>. 答案： (2)已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由． ①2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； ②－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的； ③－2a与2a是一对相反向量； ④a－b与－(b－a)是一对相反向量． 解：①正确．因为2>0，所以2a与a方向相同且|2a|＝2|a|. ②正确．因为5>0，所以5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，而－2<0，所以－2a与a方向相反，且－2a的模是5a的模的倍． ③正确，按照相反向量的定义可以判断． ④错误，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，故a－b与－(b－a)为相等向量． 1．λa的实数λ叫作向量a的系数． 2．向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小． 3．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.　　 [跟踪训练] 1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是(　　) A．a与－λa的方向相反　 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a 解析：C　∵λ是非零实数，∴λ2>0， ∴λ2a的方向与a的方向相同． 2．已知实数m，n和向量a，b，下列说法中不正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n 解析：C　易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确． 探究点二　向量的线性运算 [基础梳理] 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． [互动探究] 　(1)计算下列各式： ①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)； ②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)． 解：①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c. ②原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0a＋0b＝0. (2)设x，y是未知向量． ①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0； ②解方程组 解：①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0. 即8x＝－5a＋3b.∴x＝－a＋b. ②把第一个方程的左、右两边同乘以－2，然后与第二个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b. 代入原来第二个方程得x＝－a＋b. ∴ 向量的线性运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　　 [跟踪训练] 3．设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． 解：原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b ＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j) ＝i＋j＝－i－5j. 4．已知向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，试用向量a，b表示向量x，y. 解：由题意知3x－2y＝a　①， －4x＋3y＝b　②. 由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b. 代入①，得3(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b. 探究点三　共线(平行)向量基本定理及应用 [基础梳理] 共线(平行)向量基本定理 给定一个非零向