第二章 1.2 向量的基本关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

§1　从位移、速度、力到向量 1．1　位移、速度、力与向量的概念 1．2　向量的基本关系 [素养目标]　1.通过实际背景抽象出向量的特征，总结向量的概念，体会向量的表示方法，认识相等向量与共线向量．　2.结合实例，培养学生用数学的语言表达世界的能力，提升数学抽象、直观想象的学科素养． 探究点一　向量的概念、零向量与单位向量 [基础梳理] 1．向量的概念 (1)定义：既有大小又有方向的量统称为向量． (2)向量的模：向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 2．零向量：长度为0的向量称为零向量，记作或0，任何方向都可以作为零向量的方向． 3．单位向量：模(长度)等于1个单位长度的向量称为单位向量． [互动探究] 　(1)下列说法中正确的是(　　) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 解析：D　不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确． (2)给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的方向是任意的； ④单位向量的模都相等． 其中正确的是________(填序号)． 解析：零向量长度为零，方向是任意的，故①错，②③是正确的，单位向量的模都等于1，故④正确． 答案：②③④ 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题． [跟踪训练] 1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有(　　) A．3个　 B．4个　 C．5个　 D．6个 解析：C　质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量． 探究点二　向量的表示及应用 [基础梳理] 1．有向线段 具有方向和长度的线段称为有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段，记作．线段AB的长度称为有向线段的长度，记作||. 2．向量的表示 [互动探究] 　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°； (2)，使||＝4，点B在点A正东； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°. 解：(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示． (2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6.依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示． 用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最好依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．　　 [跟踪训练] 2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km 到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°走了200 km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100 km到达D点． (1)作出向量、、； (2)求||. 解：(1)向量、、如图所示． (2)由题意，易知与方向相反，故与共线， 又||＝||， ∴在四边形ABCD中，AB綊CD． ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝，∴||＝||＝200 km. 探究点三　相等向量与共线向量 [基础梳理] 1．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b. 2．共线向量或平行向量：若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作a∥b.规定零向量与任一向量共线． 3．相反向量：若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量，向量a的相反向量记作－a. [互动探究] 　在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中： (1)写出与共线的向量； (2)写出与方向相同的向量； (3)写出与，的模相等的向量； (4)写出与相等的向量． 解：在等腰梯形ABCD中，AB∥