第一章 三角函数 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（北师大版）

章末总结 拓展一　诱导公式的拓展 (1)sin＝－cos α，cos＝－sin α. (2)sin＝－cos α，cos＝sin α. (3)sin(nπ＋α)＝(－1)nsin α(n∈Z)， cos(nπ＋α)＝(－1)ncos α(n∈Z)． (4)tan＝. (5)tan＝－. (6)tan(nπ＋α)＝tan α(n∈Z)． 　n为整数，化简的结果是(　　) A．±tan α　　　　　　 B．－tan α C．tan α D．tan nα 解析：C　法一：当n＝2k(k∈Z)时，原式＝＝＝tan α. 当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝＝＝＝tan α.综上，原式＝tan α.故选C． 法二：＝＝tan α，故选C． 法三：根据正切函数的定义， ＝tan(nπ＋α)＝tan α，故选C． 　若sin＝，求 ＋的值． 解：因为sin＝， 所以cos θ＝－. 所以 ＋ ＝＋ ＝－ ＝－ ＝－＝. 拓展二　三角函数图象变换的拓展 1．三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换 2．平移变换 (1)y＝f(x)y＝f(x－a)； (2)y＝f(x)y＝f(x)＋b. 3．伸缩变换 (1)y＝f(x)y＝af(x)； (2)y＝f(x)y＝f(ωx)． 4．对称变换 (1)y＝f(x)y＝f(|x|)； (2)y＝f(x)y＝|f(x)|. 　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2)． (1)求f(x)的解析式； (2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后再将所得到的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式，并用“五点法”作出y＝g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象． 解：(1)∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)在y轴上的截距为1，最大值为2，∴A＝2，1＝2sin φ， ∴sin φ＝， 又∵|φ|<，∴φ＝. ∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2)， ∴T＝2[(x0＋3π)－x0]＝6π， ∴ω＝＝＝. ∴函数的解析式为f(x)＝2sin. (2)将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得函数的解析式为y＝2sin，再向右平移个单位后，得g(x)＝2sin＝2sin. 列表如下： x－ 0 π 2π x g(x) 0 2 0 －2 0 描点并连线，得g(x)在一个周期的闭区间上的图象如图． 拓展三　三角函数性质的拓展 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)： (1)最大值M＝A＋b，最小值m＝－A＋b，反之由图象得A＝，b＝. (2)T＝，由图象求ω＝. (3)对称中心(，b)(k∈Z)，对称轴x＝(k∈Z)． (4)单调区间与y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间相同． 　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<π)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式和最小正周期； (2)将f(x)的图象向右平移个长度单位，求所得函数在区间上的最值． 解：(1)由图象知A＝1，＝－＝， 所以周期T＝π＝， 所以ω＝2，所以函数f(x)＝sin(2x＋φ)． 又f＝sin＝－1， 所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝， 所以f(x)＝sin. (2)将f(x)的图象向右平移个长度单位， 可得y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，因为x∈，所以2x∈，当且仅当x＝0时y取得最小值－1，没有最大值． 拓展四　数学建模 三角函数模型在实际中的应用 (1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系． (2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模． 　如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道，休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k＞0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8])的图象，图象的最高点为B(5，)，且DF⊥OC，垂足为点F. (1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童游乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积． 解：(1)由图象，可知A＝，ω＝＝＝， 将B(5，)代入y＝sin中． 得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， 即φ＝2kπ－(k∈Z)， ∵|